|x-1|-|2x+3|<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 1}\right| - \left|{2 x + 3}\right| \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 1}\right| - \left|{2 x + 3}\right| = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 1 \geq 0$$
$$2 x + 3 \geq 0$$
o
$$1 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 1\right) - \left(2 x + 3\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -4$$
pero x1 no satisface a la desigualdad

2.
$$x - 1 \geq 0$$
$$2 x + 3 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x - 1 < 0$$
$$2 x + 3 \geq 0$$
o
$$- \frac{3}{2} \leq x \wedge x < 1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - x\right) - \left(2 x + 3\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 3 x - 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{2}{3}$$

4.
$$x - 1 < 0$$
$$2 x + 3 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{3}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - x\right) - \left(- 2 x - 3\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x + 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -4$$


$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = -4$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 1}\right| - \left|{2 x + 3}\right| \leq 0$$
$$- \left|{\frac{\left(-41\right) 2}{10} + 3}\right| + \left|{- \frac{41}{10} - 1}\right| \leq 0$$

-1/10 <= 0

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -4$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -4$$
$$x \geq - \frac{2}{3}$$