cot(x)^2-4*cot(x)+3<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - 4 \cot{\left(x \right)}\right) + 3 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - 4 \cot{\left(x \right)}\right) + 3 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - 4 \cot{\left(x \right)}\right) + 3 = 0$$
cambiamos
$$\cot^{2}{\left(x \right)} - 4 \cot{\left(x \right)} + 3 = 0$$
$$\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - 4 \cot{\left(x \right)}\right) + 3 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cot{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 3$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (3) = 4

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = 3$$
$$w_{2} = 1$$
hacemos cambio inverso
$$\cot{\left(x \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \operatorname{acot}{\left(3 \right)}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \operatorname{acot}{\left(3 \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \operatorname{acot}{\left(3 \right)}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acot}{\left(3 \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acot}{\left(3 \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - 4 \cot{\left(x \right)}\right) + 3 < 0$$
$$\left(\cot^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{acot}{\left(3 \right)} \right)} - 4 \cot{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{acot}{\left(3 \right)} \right)}\right) + 3 < 0$$

       2                                            
3 + cot (1/10 - acot(3)) + 4*cot(1/10 - acot(3)) < 0
    

pero

       2                                            
3 + cot (1/10 - acot(3)) + 4*cot(1/10 - acot(3)) > 0
    

Entonces
$$x < \operatorname{acot}{\left(3 \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \operatorname{acot}{\left(3 \right)} \wedge x < \frac{\pi}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1