log(x+1)x-1>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \log{\left(x + 1 \right)} - 1 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \log{\left(x + 1 \right)} - 1 = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 1.23997788765655$$
$$x_{1} = 1.23997788765655$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 1.23997788765655$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1.23997788765655$$
=
$$1.13997788765655$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \log{\left(x + 1 \right)} - 1 \geq 0$$
$$-1 + 1.13997788765655 \log{\left(1 + 1.13997788765655 \right)} \geq 0$$

-0.132709957406356 >= 0

pero

-0.132709957406356 < 0

Entonces
$$x \leq 1.23997788765655$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 1.23997788765655$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1