|x+1|+|2x-3|<=11 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x + 1}\right| + \left|{2 x - 3}\right| \leq 11$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x + 1}\right| + \left|{2 x - 3}\right| = 11$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x + 1 \geq 0$$
$$2 x - 3 \geq 0$$
o
$$\frac{3}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x + 1\right) + \left(2 x - 3\right) - 11 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 x - 13 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{13}{3}$$

2.
$$x + 1 \geq 0$$
$$2 x - 3 < 0$$
o
$$-1 \leq x \wedge x < \frac{3}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - 2 x\right) + \left(x + 1\right) - 11 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 7 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -7$$
pero x2 no satisface a la desigualdad

3.
$$x + 1 < 0$$
$$2 x - 3 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x + 1 < 0$$
$$2 x - 3 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - 2 x\right) + \left(- x - 1\right) - 11 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 3 x - 9 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -3$$


$$x_{1} = \frac{13}{3}$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = \frac{13}{3}$$
$$x_{2} = -3$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = \frac{13}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x + 1}\right| + \left|{2 x - 3}\right| \leq 11$$
$$\left|{- \frac{31}{10} + 1}\right| + \left|{\frac{\left(-31\right) 2}{10} - 3}\right| \leq 11$$

113      
--- <= 11
 10      

pero

113      
--- >= 11
 10      

Entonces
$$x \leq -3$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -3 \wedge x \leq \frac{13}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1