sqrt(2*x-1)+sqrt(x+3)>=3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 x - 1} \geq 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 x - 1} = 3$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 x - 1} = 3$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 x - 1}\right)^{2} = 9$$
o
$$1^{2} \left(2 x - 1\right) + \left(2 \sqrt{\left(x + 3\right) \left(2 x - 1\right)} + 1^{2} \left(x + 3\right)\right) = 9$$
o
$$3 x + 2 \sqrt{2 x^{2} + 5 x - 3} + 2 = 9$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{2 x^{2} + 5 x - 3} = 7 - 3 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$8 x^{2} + 20 x - 12 = \left(7 - 3 x\right)^{2}$$
$$8 x^{2} + 20 x - 12 = 9 x^{2} - 42 x + 49$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 62 x - 61 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 62$$
$$c = -61$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(62)^2 - 4 * (-1) * (-61) = 3600

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 61$$

Como
$$\sqrt{2 x^{2} + 5 x - 3} = \frac{7}{2} - \frac{3 x}{2}$$
y
$$\sqrt{2 x^{2} + 5 x - 3} \geq 0$$
entonces
$$\frac{7}{2} - \frac{3 x}{2} \geq 0$$
o
$$x \leq \frac{7}{3}$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 1$$
comprobamos:
$$x_{1} = 1$$
$$\sqrt{x_{1} + 3} + \sqrt{2 x_{1} - 1} - 3 = 0$$
=
$$-3 + \left(\sqrt{-1 + 2} + \sqrt{1 + 3}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 x - 1} \geq 3$$
$$\sqrt{-1 + \frac{2 \cdot 9}{10}} + \sqrt{\frac{9}{10} + 3} \geq 3$$

  _____       ___     
\/ 390    2*\/ 5      
------- + ------- >= 3
   10        5        
     

pero

  _____       ___    
\/ 390    2*\/ 5     
------- + ------- < 3
   10        5       
    

Entonces
$$x \leq 1$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 1$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1