Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
-
Límite de (-49+x^2)/(sqrt(x)-sqrt(7))
-
Expresiones idénticas
- (x/(- cinco +x))^(- uno +x)
- (x dividir por ( menos 5 más x)) en el grado ( menos 1 más x)
- (x dividir por ( menos cinco más x)) en el grado ( menos uno más x)
- (x/(-5+x))(-1+x)
- x/-5+x-1+x
- x/-5+x^-1+x
- (x dividir por (-5+x))^(-1+x)
-
Expresiones semejantes
- (x/(5+x))^(-1+x)
- (x/(-5+x))^(1+x)
- (x/(-5-x))^(-1+x)
- (x/(-5+x))^(-1-x)
Límite de la función (x/(-5+x))^(-1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
-1 + x
/ x \
lim |------|
x->oo\-5 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1}$$
Limit((x/(-5 + x))^(-1 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 5\right) + 5}{x - 5}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 5}{x - 5} + \frac{5}{x - 5}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x - 5}\right)^{x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 5}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x - 5}\right)^{x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u + 4}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5} = e^{5}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1} = e^{5}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 5\right) + 5}{x - 5}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 5}{x - 5} + \frac{5}{x - 5}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x - 5}\right)^{x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 5}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x - 5}\right)^{x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u + 4}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5} = e^{5}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1} = e^{5}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1} = e^{5}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1} = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1} = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1} = e^{5}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1} = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1} = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x - 5}\right)^{x - 1} = e^{5}$$
Más detalles con x→-oo