Sr Examen

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(2+x^2-3*x)/(sqrt(5-x)-sqrt(1+x))

Límite de la función (2+x^2-3*x)/(sqrt(5-x)-sqrt(1+x))

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /          2          \
     |     2 + x  - 3*x    |
 lim |---------------------|
x->2+|  _______     _______|
     \\/ 5 - x  - \/ 1 + x /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right)$$
Limit((2 + x^2 - 3*x)/(sqrt(5 - x) - sqrt(1 + x)), x, 2)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1}\right) \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}{\left(\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}\right) \left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1}\right)}$$
=
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1}\right)}{4 - 2 x}$$
=
$$- \frac{\left(x - 1\right) \left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1}\right)}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{\left(x - 1\right) \left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1}\right)}{2}\right)$$
=
$$- \sqrt{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{2} - 3 x + 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 3 x + 2}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 x - 3}{- \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 x - 3}{- \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x}}}\right)$$
=
$$- \sqrt{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Respuesta rápida [src]
   ___
-\/ 3 
$$- \sqrt{3}$$
A la izquierda y a la derecha [src]
     /          2          \
     |     2 + x  - 3*x    |
 lim |---------------------|
x->2+|  _______     _______|
     \\/ 5 - x  - \/ 1 + x /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right)$$
   ___
-\/ 3 
$$- \sqrt{3}$$
= -1.73205080756888
     /          2          \
     |     2 + x  - 3*x    |
 lim |---------------------|
x->2-|  _______     _______|
     \\/ 5 - x  - \/ 1 + x /
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right)$$
   ___
-\/ 3 
$$- \sqrt{3}$$
= -1.73205080756888
= -1.73205080756888
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right) = \frac{2}{-1 + \sqrt{5}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right) = \frac{2}{-1 + \sqrt{5}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src]
-1.73205080756888
-1.73205080756888
Gráfico
Límite de la función (2+x^2-3*x)/(sqrt(5-x)-sqrt(1+x))