Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{2} - 3 x + 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2} - 3 x + 2}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 x - 3}{- \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 x - 3}{- \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x}}}\right)$$
=
$$- \sqrt{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)