Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x+x^2)
-
Límite de tan(x/2)
- Límite de x3-x2+4*x
-
Límite de acos(x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x^ dos + dos *x)-sqrt(x+x^ dos)
- raíz cuadrada de (x al cuadrado más 2 multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (x más x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (x en el grado dos más dos multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (x más x en el grado dos)
- √(x^2+2*x)-√(x+x^2)
- sqrt(x2+2*x)-sqrt(x+x2)
- sqrtx2+2*x-sqrtx+x2
- sqrt(x²+2*x)-sqrt(x+x²)
- sqrt(x en el grado 2+2*x)-sqrt(x+x en el grado 2)
- sqrt(x^2+2x)-sqrt(x+x^2)
- sqrt(x2+2x)-sqrt(x+x2)
- sqrtx2+2x-sqrtx+x2
- sqrtx^2+2x-sqrtx+x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x^2+2*x)+sqrt(x+x^2)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x-x^2)
- sqrt(x^2-2*x)-sqrt(x+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1-cos(2*x))/x
- sqrt(x)/log(x)
- sqrt(x^2)/x
- sqrt(5+9*x^2)/(-1+2*x)
- sqrt(x+x^2)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1-cos(2*x))/x
- sqrt(x)/log(x)
- sqrt(x^2)/x
- sqrt(5+9*x^2)/(-1+2*x)
- sqrt(x+x^2)
Límite de la función sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________ ________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ x + 2*x - \/ x + x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
Limit(sqrt(x^2 + 2*x) - sqrt(x + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} + x}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + 2 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - x\right) + \left(x^{2} + 2 x\right)}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 2 x}}{x}}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + x}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2}}}}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$$ =
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{u + 1} + \sqrt{2 u + 1}}$$ =
= $$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{0 \cdot 2 + 1}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right)}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} + x}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + 2 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - x\right) + \left(x^{2} + 2 x\right)}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 2 x}}{x}}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + x}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2}}}}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$$ =
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{u + 1} + \sqrt{2 u + 1}}$$ =
= $$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{0 \cdot 2 + 1}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} + 2 x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico