Sr Examen

Otras calculadoras:


cot(x)^2-1/x^2

Límite de la función cot(x)^2-1/x^2

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /   2      1 \
 lim |cot (x) - --|
x->0+|           2|
     \          x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$
Limit(cot(x)^2 - 1/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 2 x^{2} \cot^{3}{\left(x \right)} - 2 x^{2} \cot{\left(x \right)} + 2 x \cot^{2}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x^{2} \cot^{3}{\left(x \right)} - 2 x^{2} \cot{\left(x \right)} + 2 x \cot^{2}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x^{2} \cot^{4}{\left(x \right)} + 4 x^{2} \cot^{2}{\left(x \right)} + x^{2} - 4 x \cot^{3}{\left(x \right)} - 4 x \cot{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x^{2} \cot^{4}{\left(x \right)} + 4 x^{2} \cot^{2}{\left(x \right)} + x^{2} - 4 x \cot^{3}{\left(x \right)} - 4 x \cot{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)}\right)$$
=
$$- \frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha [src]
     /   2      1 \
 lim |cot (x) - --|
x->0+|           2|
     \          x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$
-2/3
$$- \frac{2}{3}$$
= -0.666666666666667
     /   2      1 \
 lim |cot (x) - --|
x->0-|           2|
     \          x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$
-2/3
$$- \frac{2}{3}$$
= -0.666666666666667
= -0.666666666666667
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right) = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right) = - \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right) = - \frac{-1 + \tan^{2}{\left(1 \right)}}{\tan^{2}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right) = - \frac{-1 + \tan^{2}{\left(1 \right)}}{\tan^{2}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cot^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src]
-2/3
$$- \frac{2}{3}$$
Respuesta numérica [src]
-0.666666666666667
-0.666666666666667
Gráfico
Límite de la función cot(x)^2-1/x^2