Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de x^(1/(1-x))
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de x^(-2)
-
Expresiones idénticas
- tres ^(-n)* tres ^(uno +n)*(uno +n)^ dos /n^ dos
- 3 en el grado ( menos n) multiplicar por 3 en el grado (1 más n) multiplicar por (1 más n) al cuadrado dividir por n al cuadrado
- tres en el grado ( menos n) multiplicar por tres en el grado (uno más n) multiplicar por (uno más n) en el grado dos dividir por n en el grado dos
- 3(-n)*3(1+n)*(1+n)2/n2
- 3-n*31+n*1+n2/n2
- 3^(-n)*3^(1+n)*(1+n)²/n²
- 3 en el grado (-n)*3 en el grado (1+n)*(1+n) en el grado 2/n en el grado 2
- 3^(-n)3^(1+n)(1+n)^2/n^2
- 3(-n)3(1+n)(1+n)2/n2
- 3-n31+n1+n2/n2
- 3^-n3^1+n1+n^2/n^2
- 3^(-n)*3^(1+n)*(1+n)^2 dividir por n^2
-
Expresiones semejantes
- 3^(-n)*3^(1+n)*(1-n)^2/n^2
- 3^(n)*3^(1+n)*(1+n)^2/n^2
- 3^(-n)*3^(1-n)*(1+n)^2/n^2
Límite de la función 3^(-n)*3^(1+n)*(1+n)^2/n^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ -n 1 + n 2\
|3 *3 *(1 + n) |
lim |-------------------|
n->oo| 2 |
\ n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Limit(((3^(-n)*3^(1 + n))*(1 + n)^2)/n^2, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$ =
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
=
$$3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 6 + 3 = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 3$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$ =
/ 1 2\
|1 + -- + -|
| 2 n|
| n |
lim |----------|
n->oo\ 1/3 /Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
/ 1 2\
|1 + -- + -|
| 2 n|
| n | / 2 \
lim |----------| = lim \3 + 3*u + 6*u/
n->oo\ 1/3 / u->0+ =
$$3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 6 + 3 = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 3$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 2 n + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{3}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 2 n + 1\right)}{\frac{d}{d n} \frac{n^{2}}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 \left(2 n + 2\right)}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}{\frac{d}{d n} \frac{2 n}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 3$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 3$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 2 n + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{3}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 2 n + 1\right)}{\frac{d}{d n} \frac{n^{2}}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 \left(2 n + 2\right)}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}{\frac{d}{d n} \frac{2 n}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 3$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 3$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 3$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 12$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 12$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 12$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 12$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con n→-oo