Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-1+x)
-
Límite de (-1+sqrt(x))/(-1+x)
-
Límite de (-1+x)/(-1+x^2)
-
Límite de cos(x)^(x^(-2))
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno + cuatro *x^ dos + cinco *x)-sqrt(uno - cinco *x+ cuatro *x^ dos)
- raíz cuadrada de (1 más 4 multiplicar por x al cuadrado más 5 multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (1 menos 5 multiplicar por x más 4 multiplicar por x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (uno más cuatro multiplicar por x en el grado dos más cinco multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (uno menos cinco multiplicar por x más cuatro multiplicar por x en el grado dos)
- √(1+4*x^2+5*x)-√(1-5*x+4*x^2)
- sqrt(1+4*x2+5*x)-sqrt(1-5*x+4*x2)
- sqrt1+4*x2+5*x-sqrt1-5*x+4*x2
- sqrt(1+4*x²+5*x)-sqrt(1-5*x+4*x²)
- sqrt(1+4*x en el grado 2+5*x)-sqrt(1-5*x+4*x en el grado 2)
- sqrt(1+4x^2+5x)-sqrt(1-5x+4x^2)
- sqrt(1+4x2+5x)-sqrt(1-5x+4x2)
- sqrt1+4x2+5x-sqrt1-5x+4x2
- sqrt1+4x^2+5x-sqrt1-5x+4x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+4*x^2+5*x)-sqrt(1+5*x+4*x^2)
- sqrt(1+4*x^2+5*x)+sqrt(1-5*x+4*x^2)
- sqrt(1+4*x^2+5*x)-sqrt(1-5*x-4*x^2)
- sqrt(1-4*x^2+5*x)-sqrt(1-5*x+4*x^2)
- sqrt(1+4*x^2-5*x)-sqrt(1-5*x+4*x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(n^4+2*n^3)*(n+n^2)
- sqrt(1+n)/sqrt(n)
- sqrt(2)*3^(sqrt(3))/6
- sqrt(3)/sqrt(2+x^5)
- sqrt(1-x^3)-x^(3/2)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(n^4+2*n^3)*(n+n^2)
- sqrt(1+n)/sqrt(n)
- sqrt(2)*3^(sqrt(3))/6
- sqrt(3)/sqrt(2+x^5)
- sqrt(1-x^3)-x^(3/2)
Límite de la función sqrt(1+4*x^2+5*x)-sqrt(1-5*x+4*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________________ ________________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 1 + 4*x + 5*x - \/ 1 - 5*x + 4*x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right)$$
Limit(sqrt(1 + 4*x^2 + 5*x) - sqrt(1 - 5*x + 4*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) \left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right)}{\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)^{2} - \left(\sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right)^{2}}{\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)\right) + \left(- 4 x^{2} + \left(5 x - 1\right)\right)}{\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x}{\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10}{\frac{\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}}{x} + \frac{\sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10}{\sqrt{\frac{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10}{\sqrt{4 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{4 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10}{\sqrt{4 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{4 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{10}{\sqrt{u^{2} - 5 u + 4} + \sqrt{u^{2} + 5 u + 4}}\right)$$ =
= $$\frac{10}{\sqrt{0^{2} - 0 + 4} + \sqrt{0^{2} + 0 \cdot 5 + 4}} = \frac{5}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) = \frac{5}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) \left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right)}{\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)^{2} - \left(\sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right)^{2}}{\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)\right) + \left(- 4 x^{2} + \left(5 x - 1\right)\right)}{\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x}{\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10}{\frac{\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}}{x} + \frac{\sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10}{\sqrt{\frac{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10}{\sqrt{4 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{4 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10}{\sqrt{4 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{4 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{10}{\sqrt{u^{2} - 5 u + 4} + \sqrt{u^{2} + 5 u + 4}}\right)$$ =
= $$\frac{10}{\sqrt{0^{2} - 0 + 4} + \sqrt{0^{2} + 0 \cdot 5 + 4}} = \frac{5}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) = \frac{5}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) = \frac{5}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) = \sqrt{10}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) = \sqrt{10}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) = - \frac{5}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) = \sqrt{10}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) = \sqrt{10}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{5 x + \left(4 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{4 x^{2} + \left(1 - 5 x\right)}\right) = - \frac{5}{2}$$
Más detalles con x→-oo