Límite de la función cot(x)*log(x)*sin(x)

Tenemos la indeterminación de tipo

0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot{\left(x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{1 + \frac{1}{\cot^{2}{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{1 + \frac{1}{\cot^{2}{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)