Sr Examen
x+y+z=-2; x-y+2x=-7; 2x+3y-z=1
Solución
Ha introducido
[src]
x + y + z = -2
$$z + \left(x + y\right) = -2$$
x - y + 2*x = -7
$$2 x + \left(x - y\right) = -7$$
2*x + 3*y - z = 1
$$- z + \left(2 x + 3 y\right) = 1$$
-z + 2*x + 3*y = 1
Respuesta rápida
$$x_{1} = - \frac{29}{15}$$
=
$$- \frac{29}{15}$$
=
$$y_{1} = \frac{6}{5}$$
=
$$\frac{6}{5}$$
=
$$z_{1} = - \frac{19}{15}$$
=
$$- \frac{19}{15}$$
=
=
$$- \frac{29}{15}$$
=
-1.93333333333333
$$y_{1} = \frac{6}{5}$$
=
$$\frac{6}{5}$$
=
1.2
$$z_{1} = - \frac{19}{15}$$
=
$$- \frac{19}{15}$$
=
-1.26666666666667
Regla de Cramer
$$z + \left(x + y\right) = -2$$
$$2 x + \left(x - y\right) = -7$$
$$- z + \left(2 x + 3 y\right) = 1$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y + z = -2$$
$$3 x - y = -7$$
$$2 x + 3 y - z = 1$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3}\\3 x_{1} - x_{2} + 0 x_{3}\\2 x_{1} + 3 x_{2} - x_{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2\\-7\\1\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\3 & -1 & 0\\2 & 3 & -1\end{matrix}\right] \right)} = 15$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-2 & 1 & 1\\-7 & -1 & 0\\1 & 3 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{15} = - \frac{29}{15}$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -2 & 1\\3 & -7 & 0\\2 & 1 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{15} = \frac{6}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & -2\\3 & -1 & -7\\2 & 3 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{15} = - \frac{19}{15}$$
$$2 x + \left(x - y\right) = -7$$
$$- z + \left(2 x + 3 y\right) = 1$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y + z = -2$$
$$3 x - y = -7$$
$$2 x + 3 y - z = 1$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3}\\3 x_{1} - x_{2} + 0 x_{3}\\2 x_{1} + 3 x_{2} - x_{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2\\-7\\1\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\3 & -1 & 0\\2 & 3 & -1\end{matrix}\right] \right)} = 15$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-2 & 1 & 1\\-7 & -1 & 0\\1 & 3 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{15} = - \frac{29}{15}$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -2 & 1\\3 & -7 & 0\\2 & 1 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{15} = \frac{6}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & -2\\3 & -1 & -7\\2 & 3 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{15} = - \frac{19}{15}$$
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$z + \left(x + y\right) = -2$$
$$2 x + \left(x - y\right) = -7$$
$$- z + \left(2 x + 3 y\right) = 1$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y + z = -2$$
$$3 x - y = -7$$
$$2 x + 3 y - z = 1$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & -2\\3 & -1 & 0 & -7\\2 & 3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\3\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 0 & -7\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{3}{3} & 1 - - \frac{1}{3} & 1 - \frac{0}{3} & -2 - - \frac{7}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{1}{3}\\3 & -1 & 0 & -7\\2 & 3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}2 - \frac{2 \cdot 3}{3} & 3 - - \frac{2}{3} & -1 - \frac{0 \cdot 2}{3} & 1 - - \frac{14}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{3} & -1 & \frac{17}{3}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{1}{3}\\3 & -1 & 0 & -7\\0 & \frac{11}{3} & -1 & \frac{17}{3}\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-1\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}3 - \frac{\left(-3\right) 0}{4} & -1 - \frac{\left(-3\right) 4}{3 \cdot 4} & - \frac{-3}{4} & -7 - \frac{-3}{3 \cdot 4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{3}{4} & - \frac{27}{4}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{1}{3}\\3 & 0 & \frac{3}{4} & - \frac{27}{4}\\0 & \frac{11}{3} & -1 & \frac{17}{3}\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{0 \cdot 11}{4} & \frac{11}{3} - \frac{4 \cdot 11}{3 \cdot 4} & \frac{\left(-1\right) 11}{4} - 1 & \frac{17}{3} - \frac{11}{3 \cdot 4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{15}{4} & \frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{1}{3}\\3 & 0 & \frac{3}{4} & - \frac{27}{4}\\0 & 0 & - \frac{15}{4} & \frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\\frac{3}{4}\\- \frac{15}{4}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{15}{4} & \frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-4\right) 0}{15} & \frac{4}{3} - \frac{\left(-4\right) 0}{15} & 1 - - -1 & \frac{1}{3} - \frac{\left(-4\right) 19}{4 \cdot 15}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 0 & \frac{8}{5}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 0 & \frac{8}{5}\\3 & 0 & \frac{3}{4} & - \frac{27}{4}\\0 & 0 & - \frac{15}{4} & \frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}3 - \frac{\left(-1\right) 0}{5} & - \frac{\left(-1\right) 0}{5} & \frac{3}{4} - - \frac{-3}{4} & - \frac{27}{4} - \frac{\left(-1\right) 19}{4 \cdot 5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & - \frac{29}{5}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 0 & \frac{8}{5}\\3 & 0 & 0 & - \frac{29}{5}\\0 & 0 & - \frac{15}{4} & \frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$\frac{4 x_{2}}{3} - \frac{8}{5} = 0$$
$$3 x_{1} + \frac{29}{5} = 0$$
$$- \frac{15 x_{3}}{4} - \frac{19}{4} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{2} = \frac{6}{5}$$
$$x_{1} = - \frac{29}{15}$$
$$x_{3} = - \frac{19}{15}$$
$$z + \left(x + y\right) = -2$$
$$2 x + \left(x - y\right) = -7$$
$$- z + \left(2 x + 3 y\right) = 1$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y + z = -2$$
$$3 x - y = -7$$
$$2 x + 3 y - z = 1$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & -2\\3 & -1 & 0 & -7\\2 & 3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\3\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 0 & -7\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{3}{3} & 1 - - \frac{1}{3} & 1 - \frac{0}{3} & -2 - - \frac{7}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{1}{3}\\3 & -1 & 0 & -7\\2 & 3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}2 - \frac{2 \cdot 3}{3} & 3 - - \frac{2}{3} & -1 - \frac{0 \cdot 2}{3} & 1 - - \frac{14}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{3} & -1 & \frac{17}{3}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{1}{3}\\3 & -1 & 0 & -7\\0 & \frac{11}{3} & -1 & \frac{17}{3}\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-1\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}3 - \frac{\left(-3\right) 0}{4} & -1 - \frac{\left(-3\right) 4}{3 \cdot 4} & - \frac{-3}{4} & -7 - \frac{-3}{3 \cdot 4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{3}{4} & - \frac{27}{4}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{1}{3}\\3 & 0 & \frac{3}{4} & - \frac{27}{4}\\0 & \frac{11}{3} & -1 & \frac{17}{3}\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{0 \cdot 11}{4} & \frac{11}{3} - \frac{4 \cdot 11}{3 \cdot 4} & \frac{\left(-1\right) 11}{4} - 1 & \frac{17}{3} - \frac{11}{3 \cdot 4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{15}{4} & \frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{1}{3}\\3 & 0 & \frac{3}{4} & - \frac{27}{4}\\0 & 0 & - \frac{15}{4} & \frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\\frac{3}{4}\\- \frac{15}{4}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{15}{4} & \frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-4\right) 0}{15} & \frac{4}{3} - \frac{\left(-4\right) 0}{15} & 1 - - -1 & \frac{1}{3} - \frac{\left(-4\right) 19}{4 \cdot 15}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 0 & \frac{8}{5}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 0 & \frac{8}{5}\\3 & 0 & \frac{3}{4} & - \frac{27}{4}\\0 & 0 & - \frac{15}{4} & \frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}3 - \frac{\left(-1\right) 0}{5} & - \frac{\left(-1\right) 0}{5} & \frac{3}{4} - - \frac{-3}{4} & - \frac{27}{4} - \frac{\left(-1\right) 19}{4 \cdot 5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & - \frac{29}{5}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & 0 & \frac{8}{5}\\3 & 0 & 0 & - \frac{29}{5}\\0 & 0 & - \frac{15}{4} & \frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$\frac{4 x_{2}}{3} - \frac{8}{5} = 0$$
$$3 x_{1} + \frac{29}{5} = 0$$
$$- \frac{15 x_{3}}{4} - \frac{19}{4} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{2} = \frac{6}{5}$$
$$x_{1} = - \frac{29}{15}$$
$$x_{3} = - \frac{19}{15}$$
Respuesta numérica
[src]
x1 = -1.933333333333333 y1 = 1.2 z1 = -1.266666666666667
x1 = -1.933333333333333 y1 = 1.2 z1 = -1.266666666666667