Sr Examen
x+y*1280=962; x+y*1024=1005
Solución
Ha introducido
[src]
x + y*1280 = 962
$$x + 1280 y = 962$$
x + y*1024 = 1005
$$x + 1024 y = 1005$$
x + 1024*y = 1005
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + 1280 y = 962$$
$$x + 1024 y = 1005$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + 1280 y = 962$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = - 1280 y + 962$$
$$x = 962 - 1280 y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$x + 1024 y = 1005$$
Obtenemos:
$$1024 y + \left(962 - 1280 y\right) = 1005$$
$$962 - 256 y = 1005$$
Pasamos el sumando libre 962 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 256 y = -962 + 1005$$
$$- 256 y = 43$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) 256 y}{-256} = \frac{43}{-256}$$
$$y = - \frac{43}{256}$$
Como
$$x = 962 - 1280 y$$
entonces
$$x = 962 - -215$$
$$x = 1177$$
Respuesta:
$$x = 1177$$
$$y = - \frac{43}{256}$$
$$x + 1280 y = 962$$
$$x + 1024 y = 1005$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + 1280 y = 962$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = - 1280 y + 962$$
$$x = 962 - 1280 y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$x + 1024 y = 1005$$
Obtenemos:
$$1024 y + \left(962 - 1280 y\right) = 1005$$
$$962 - 256 y = 1005$$
Pasamos el sumando libre 962 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 256 y = -962 + 1005$$
$$- 256 y = 43$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) 256 y}{-256} = \frac{43}{-256}$$
$$y = - \frac{43}{256}$$
Como
$$x = 962 - 1280 y$$
entonces
$$x = 962 - -215$$
$$x = 1177$$
Respuesta:
$$x = 1177$$
$$y = - \frac{43}{256}$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = 1177$$
=
$$1177$$
=
$$y_{1} = - \frac{43}{256}$$
=
$$- \frac{43}{256}$$
=
=
$$1177$$
=
1177
$$y_{1} = - \frac{43}{256}$$
=
$$- \frac{43}{256}$$
=
-0.16796875
Regla de Cramer
$$x + 1280 y = 962$$
$$x + 1024 y = 1005$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + 1280 y = 962$$
$$x + 1024 y = 1005$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 1280 x_{2}\\x_{1} + 1024 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}962\\1005\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1280\\1 & 1024\end{matrix}\right] \right)} = -256$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}962 & 1280\\1005 & 1024\end{matrix}\right] \right)}}{256} = 1177$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 962\\1 & 1005\end{matrix}\right] \right)}}{256} = - \frac{43}{256}$$
$$x + 1024 y = 1005$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + 1280 y = 962$$
$$x + 1024 y = 1005$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 1280 x_{2}\\x_{1} + 1024 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}962\\1005\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1280\\1 & 1024\end{matrix}\right] \right)} = -256$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}962 & 1280\\1005 & 1024\end{matrix}\right] \right)}}{256} = 1177$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 962\\1 & 1005\end{matrix}\right] \right)}}{256} = - \frac{43}{256}$$
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + 1280 y = 962$$
$$x + 1024 y = 1005$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + 1280 y = 962$$
$$x + 1024 y = 1005$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1280 & 962\\1 & 1024 & 1005\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1280 & 962\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & \left(-1\right) 1280 + 1024 & \left(-1\right) 962 + 1005\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -256 & 43\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1280 & 962\\0 & -256 & 43\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1280\\-256\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -256 & 43\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \left(-5\right) 0 & 1280 - - -1280 & 962 - \left(-5\right) 43\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1177\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1177\\0 & -256 & 43\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 1177 = 0$$
$$- 256 x_{2} - 43 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 1177$$
$$x_{2} = - \frac{43}{256}$$
$$x + 1280 y = 962$$
$$x + 1024 y = 1005$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + 1280 y = 962$$
$$x + 1024 y = 1005$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1280 & 962\\1 & 1024 & 1005\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1280 & 962\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & \left(-1\right) 1280 + 1024 & \left(-1\right) 962 + 1005\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -256 & 43\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1280 & 962\\0 & -256 & 43\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1280\\-256\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -256 & 43\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \left(-5\right) 0 & 1280 - - -1280 & 962 - \left(-5\right) 43\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1177\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1177\\0 & -256 & 43\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 1177 = 0$$
$$- 256 x_{2} - 43 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 1177$$
$$x_{2} = - \frac{43}{256}$$