Sr Examen

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x^4-625=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src]
 4          
x  - 625 = 0
$$x^{4} - 625 = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$x^{4} - 625 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 - contiene un número par 4 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 4 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{625}$$
$$\sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{625}$$
o
$$x = 5$$
$$x = -5$$
Obtenemos la respuesta: x = 5
Obtenemos la respuesta: x = -5
o
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{4} = 625$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = 625$$
donde
$$r = 5$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = -5$$
$$z_{2} = 5$$
$$z_{3} = - 5 i$$
$$z_{4} = 5 i$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = - 5 i$$
$$x_{4} = 5 i$$
Respuesta rápida [src]
x1 = -5
$$x_{1} = -5$$
x2 = 5
$$x_{2} = 5$$
x3 = -5*I
$$x_{3} = - 5 i$$
x4 = 5*I
$$x_{4} = 5 i$$
x4 = 5*i
Suma y producto de raíces [src]
suma
-5 + 5 - 5*I + 5*I
$$\left(\left(-5 + 5\right) - 5 i\right) + 5 i$$
=
0
$$0$$
producto
-5*5*-5*I*5*I
$$5 i - 25 \left(- 5 i\right)$$
=
-625
$$-625$$
-625
Respuesta numérica [src]
x1 = 5.0*i
x2 = -5.0*i
x3 = 5.0
x4 = -5.0
x4 = -5.0