Determinar el tipo de la superficie de 2 orden en línea
Demos ejemplos de las superficies de segundo orden para las cuales se puede determinar la forma canónica en línea:
+------------------------+---------------------+--------------+------------+
| Ecuación | Forma canónica | Tipo | Dimensión |
+------------------------+---------------------+--------------+------------+
| | z^2/(2/sqrt(2)/ | | Superficie |
| 2*x^2+4*y^2+z^2- | | Elipsoide | |
| 4*x*y-4*y-2*z+5=0 | sqrt(3-sqrt(5)))^2+ | imaginario | |
| | x^2/(2/sqrt(2)/ | | |
| | | | |
| | sqrt(3+sqrt(5)))^2+ | | |
| | y^2/(2/sqrt(2))^2 | | |
| | =-1 | | |
+------------------------+---------------------+--------------+------------+
| | x^2/1^2+y^2-z^2=-1 | | Superficie |
| x^2+y^2-z^2- | | Hiperboloide | |
| 2*x-2*y+2*z+2=0 | | bilatera | |
+------------------------+---------------------+--------------+------------+
| | | | Superficie |
| x^2+y^2-6*x+ | | Paraboloide | |
| 6*y-4*z+18=0 | x^2/2+y^2-2*z=0 o | elíptico | |
| | x^2/2+y^2+2*z=0 | | |
+------------------------+---------------------+--------------+------------+
| | x^2/=1/14 | | Superficie |
| x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+ | | Dos planos | |
| | | paralelos | |
| 12*y*z+6*x*z-4*x- | | | |
| 8*y-12*z+3=0 | | | |
+------------------------+---------------------+--------------+------------+
El estudio para determinar el tipo tendrá una forma aproximada así:
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
2 2 2
2 + x + y - z - 2*x - 2*y + 2*z = 0
Esta ecuación tiene la forma:
2 2 2
a44 + a11*x + a22*y + a33*z + 2*a14*x + 2*a24*y + 2*a34*z + 2*a12*x*y + 2*a13*x*z + 2*a23*y*z = 0
donde
a11 = 1
a12 = 0
a13 = 0
a14 = -1
a22 = 1
a23 = 0
a24 = -1
a33 = -1
a34 = 1
a44 = 2
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1 = a11 + a22 + a33
|a11 a12| |a22 a23| |a11 a13|
I2 = | | + | | + | |
|a12 a22| |a23 a33| |a13 a33|
|a11 a12 a13|
| |
I3 = |a12 a22 a23|
| |
|a13 a23 a33|
|a11 a12 a13 a14|
| |
|a12 a22 a23 a24|
I4 = | |
|a13 a23 a33 a34|
| |
|a14 a24 a34 a44|
|a11 - lambda a12 a13 |
| |
I(lambda) = | a12 a22 - lambda a23 |
| |
| a13 a23 a33 - lambda|
|a11 a14| |a22 a24| |a33 a34|
K2 = | | + | | + | |
|a14 a44| |a24 a44| |a34 a44|
|a11 a12 a14| |a22 a23 a24| |a11 a13 a14|
| | | | | |
K3 = |a12 a22 a24| + |a23 a33 a34| + |a13 a33 a34|
| | | | | |
|a14 a24 a44| |a24 a34 a44| |a14 a34 a44|
sustituimos coeficientes
I1 = 1
|1 0| |1 0 | |1 0 |
I2 = | | + | | + | |
|0 1| |0 -1| |0 -1|
|1 0 0 |
| |
I3 = |0 1 0 |
| |
|0 0 -1|
|1 0 0 -1|
| |
|0 1 0 -1|
I4 = | |
|0 0 -1 1 |
| |
|-1 -1 1 2 |
|1 - lambda 0 0 |
| |
I(lambda) = | 0 1 - lambda 0 |
| |
| 0 0 -1 - lambda|
|1 -1| |1 -1| |-1 1|
K2 = | | + | | + | |
|-1 2 | |-1 2 | |1 2|
|1 0 -1| |1 0 -1| |1 0 -1|
| | | | | |
K3 = |0 1 -1| + |0 -1 1 | + |0 -1 1 |
| | | | | |
|-1 -1 2 | |-1 1 2 | |-1 1 2 |
I1 = 1
I2 = -1
I3 = -1
I4 = -1
2
I(lambda) = (1 - lambda) *(-1 - lambda)
K2 = -1
K3 = -4
Como
I3 != 0
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
3 2
lambda - I3 + I2*lambda - I1*lambda = 0
o
3 2
1 + lambda - lambda - lambda = 0
lambda1 = -1
lambda2 = 1
lambda3 = 1
entonces la forma canónica de la ecuación será
2 2 2 I4
lambda1*\tilde x + lambda2*\tilde y + lambda3*\tilde z + -- = 0
I3
2 2 2
1 + \tilde y + \tilde z - \tilde x = 0
2 2 2
\tilde y \tilde z \tilde x
--------- + --------- - --------- = -1
2 2 2
/1\ /1\ /1\
|-| |-| |-|
\1/ \1/ \1/
es la ecuación para el tipo hiperboloide bilateral
- está reducida a la forma canónica