Sr Examen
15x^(2)+80y^(2)=14xy+52x+(7y+26)^(2) forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 2 - (26 + 7*y) - 52*x + 15*x + 80*y - 14*x*y = 0
$$15 x^{2} - 14 x y - 52 x + 80 y^{2} - \left(7 y + 26\right)^{2} = 0$$
15*x^2 - 14*x*y - 52*x + 80*y^2 - (7*y + 26)^2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$15 x^{2} - 14 x y - 52 x + 80 y^{2} - \left(7 y + 26\right)^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 15$$
$$a_{12} = -7$$
$$a_{13} = -26$$
$$a_{22} = 31$$
$$a_{23} = -182$$
$$a_{33} = -676$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}15 & -7\\-7 & 31\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 416$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$15 x_{0} - 7 y_{0} - 26 = 0$$
$$- 7 x_{0} + 31 y_{0} - 182 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 5$$
$$y_{0} = 7$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 26 x_{0} - 182 y_{0} - 676$$
$$a'_{33} = -2080$$
entonces la ecuación se transformará en
$$15 x'^{2} - 14 x' y' + 31 y'^{2} - 2080 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{8}{7}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{8}{7} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{7 \sqrt{113}}{113}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{8 \sqrt{113}}{113}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}}$$
$$y' = \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}} + \tilde y \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$15 x'^{2} - 14 x' y' + 31 y'^{2} - 2080 = 0$$
en
$$31 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}} + \tilde y \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 14 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}} + \tilde y \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}}\right) + 15 \left(\tilde x \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}}\right)^{2} - 2080 = 0$$
simplificamos
$$- \frac{64 \sqrt{113} \tilde x^{2}}{113} - 14 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}} \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}} + 23 \tilde x^{2} - \frac{112 \sqrt{113} \tilde x \tilde y}{113} + 32 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}} \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}} + 14 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}} \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}} + \frac{64 \sqrt{113} \tilde y^{2}}{113} + 23 \tilde y^{2} - 2080 = 0$$
$$- \sqrt{113} \tilde x^{2} + 23 \tilde x^{2} + \sqrt{113} \tilde y^{2} + 23 \tilde y^{2} - 2080 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{130}}{520} \sqrt{23 - \sqrt{113}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{130}}{520} \sqrt{\sqrt{113} + 23}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}}, \ \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}}, \ \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}}\right)$$
$$15 x^{2} - 14 x y - 52 x + 80 y^{2} - \left(7 y + 26\right)^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 15$$
$$a_{12} = -7$$
$$a_{13} = -26$$
$$a_{22} = 31$$
$$a_{23} = -182$$
$$a_{33} = -676$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}15 & -7\\-7 & 31\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 416$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$15 x_{0} - 7 y_{0} - 26 = 0$$
$$- 7 x_{0} + 31 y_{0} - 182 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 5$$
$$y_{0} = 7$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 26 x_{0} - 182 y_{0} - 676$$
$$a'_{33} = -2080$$
entonces la ecuación se transformará en
$$15 x'^{2} - 14 x' y' + 31 y'^{2} - 2080 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{8}{7}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{8}{7} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{7 \sqrt{113}}{113}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{8 \sqrt{113}}{113}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}}$$
$$y' = \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}} + \tilde y \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$15 x'^{2} - 14 x' y' + 31 y'^{2} - 2080 = 0$$
en
$$31 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}} + \tilde y \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 14 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}} + \tilde y \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}}\right) + 15 \left(\tilde x \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}}\right)^{2} - 2080 = 0$$
simplificamos
$$- \frac{64 \sqrt{113} \tilde x^{2}}{113} - 14 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}} \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}} + 23 \tilde x^{2} - \frac{112 \sqrt{113} \tilde x \tilde y}{113} + 32 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}} \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}} + 14 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}} \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}} + \frac{64 \sqrt{113} \tilde y^{2}}{113} + 23 \tilde y^{2} - 2080 = 0$$
$$- \sqrt{113} \tilde x^{2} + 23 \tilde x^{2} + \sqrt{113} \tilde y^{2} + 23 \tilde y^{2} - 2080 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{130}}{520} \sqrt{23 - \sqrt{113}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{130}}{520} \sqrt{\sqrt{113} + 23}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(5, 7)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}}, \ \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4 \sqrt{113}}{113}}, \ \sqrt{\frac{4 \sqrt{113}}{113} + \frac{1}{2}}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$15 x^{2} - 14 x y - 52 x + 80 y^{2} - \left(7 y + 26\right)^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 15$$
$$a_{12} = -7$$
$$a_{13} = -26$$
$$a_{22} = 31$$
$$a_{23} = -182$$
$$a_{33} = -676$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 46$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}15 & -7 & -26\\-7 & 31 & -182\\-26 & -182 & -676\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}15 - \lambda & -7\\-7 & 31 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 46$$
$$I_{2} = 416$$
$$I_{3} = -865280$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 46 \lambda + 416$$
$$K_{2} = -64896$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 46 \lambda + 416 = 0$$
$$\lambda_{1} = 23 - \sqrt{113}$$
$$\lambda_{2} = \sqrt{113} + 23$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(23 - \sqrt{113}\right) + \tilde y^{2} \left(\sqrt{113} + 23\right) - 2080 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{130}}{520} \sqrt{23 - \sqrt{113}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{130}}{520} \sqrt{\sqrt{113} + 23}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$15 x^{2} - 14 x y - 52 x + 80 y^{2} - \left(7 y + 26\right)^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 15$$
$$a_{12} = -7$$
$$a_{13} = -26$$
$$a_{22} = 31$$
$$a_{23} = -182$$
$$a_{33} = -676$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 46$$
|15 -7|
I2 = | |
|-7 31|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}15 & -7 & -26\\-7 & 31 & -182\\-26 & -182 & -676\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}15 - \lambda & -7\\-7 & 31 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|15 -26 | | 31 -182|
K2 = | | + | |
|-26 -676| |-182 -676|$$I_{1} = 46$$
$$I_{2} = 416$$
$$I_{3} = -865280$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 46 \lambda + 416$$
$$K_{2} = -64896$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 46 \lambda + 416 = 0$$
$$\lambda_{1} = 23 - \sqrt{113}$$
$$\lambda_{2} = \sqrt{113} + 23$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(23 - \sqrt{113}\right) + \tilde y^{2} \left(\sqrt{113} + 23\right) - 2080 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{130}}{520} \sqrt{23 - \sqrt{113}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{130}}{520} \sqrt{\sqrt{113} + 23}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica