Sr Examen
(x-1)^2/16+(y+3)^2/25=1 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2
(-1 + x) (3 + y)
-1 + --------- + -------- = 0
16 25
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{16} + \frac{\left(y + 3\right)^{2}}{25} - 1 = 0$$
(x - 1)^2/16 + (y + 3)^2/25 - 1 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{16} + \frac{\left(y + 3\right)^{2}}{25} - 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = \frac{1}{16}$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = - \frac{1}{16}$$
$$a_{22} = \frac{1}{25}$$
$$a_{23} = \frac{3}{25}$$
$$a_{33} = - \frac{231}{400}$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}\frac{1}{16} & 0\\0 & \frac{1}{25}\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = \frac{1}{400}$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$\frac{x_{0}}{16} - \frac{1}{16} = 0$$
$$\frac{y_{0}}{25} + \frac{3}{25} = 0$$
entonces
$$x_{0} = 1$$
$$y_{0} = -3$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - \frac{x_{0}}{16} + \frac{3 y_{0}}{25} - \frac{231}{400}$$
$$a'_{33} = -1$$
entonces la ecuación se transformará en
$$\frac{x'^{2}}{16} + \frac{y'^{2}}{25} - 1 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{4}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{5}{1}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{16} + \frac{\left(y + 3\right)^{2}}{25} - 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = \frac{1}{16}$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = - \frac{1}{16}$$
$$a_{22} = \frac{1}{25}$$
$$a_{23} = \frac{3}{25}$$
$$a_{33} = - \frac{231}{400}$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}\frac{1}{16} & 0\\0 & \frac{1}{25}\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = \frac{1}{400}$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$\frac{x_{0}}{16} - \frac{1}{16} = 0$$
$$\frac{y_{0}}{25} + \frac{3}{25} = 0$$
entonces
$$x_{0} = 1$$
$$y_{0} = -3$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - \frac{x_{0}}{16} + \frac{3 y_{0}}{25} - \frac{231}{400}$$
$$a'_{33} = -1$$
entonces la ecuación se transformará en
$$\frac{x'^{2}}{16} + \frac{y'^{2}}{25} - 1 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{4}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{5}{1}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(1, -3)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{16} + \frac{\left(y + 3\right)^{2}}{25} - 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = \frac{1}{16}$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = - \frac{1}{16}$$
$$a_{22} = \frac{1}{25}$$
$$a_{23} = \frac{3}{25}$$
$$a_{33} = - \frac{231}{400}$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = \frac{41}{400}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}\frac{1}{16} & 0 & - \frac{1}{16}\\0 & \frac{1}{25} & \frac{3}{25}\\- \frac{1}{16} & \frac{3}{25} & - \frac{231}{400}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}\frac{1}{16} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{25} - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = \frac{41}{400}$$
$$I_{2} = \frac{1}{400}$$
$$I_{3} = - \frac{1}{400}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - \frac{41 \lambda}{400} + \frac{1}{400}$$
$$K_{2} = - \frac{31}{400}$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - \frac{41 \lambda}{400} + \frac{1}{400} = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{1}{16}$$
$$\lambda_{2} = \frac{1}{25}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\frac{\tilde x^{2}}{16} + \frac{\tilde y^{2}}{25} - 1 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{4}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{5}{1}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{16} + \frac{\left(y + 3\right)^{2}}{25} - 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = \frac{1}{16}$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = - \frac{1}{16}$$
$$a_{22} = \frac{1}{25}$$
$$a_{23} = \frac{3}{25}$$
$$a_{33} = - \frac{231}{400}$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = \frac{41}{400}$$
|1/16 0 |
I2 = | |
| 0 1/25|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}\frac{1}{16} & 0 & - \frac{1}{16}\\0 & \frac{1}{25} & \frac{3}{25}\\- \frac{1}{16} & \frac{3}{25} & - \frac{231}{400}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}\frac{1}{16} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{25} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|1/16 -1/16| |1/25 3/25 |
| | | |
K2 = | -231 | + | -231 |
|-1/16 -----| |3/25 -----|
| 400 | | 400 |$$I_{1} = \frac{41}{400}$$
$$I_{2} = \frac{1}{400}$$
$$I_{3} = - \frac{1}{400}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - \frac{41 \lambda}{400} + \frac{1}{400}$$
$$K_{2} = - \frac{31}{400}$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - \frac{41 \lambda}{400} + \frac{1}{400} = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{1}{16}$$
$$\lambda_{2} = \frac{1}{25}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\frac{\tilde x^{2}}{16} + \frac{\tilde y^{2}}{25} - 1 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{4}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{5}{1}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica