Sr Examen
-4x^(2)+7y^(2)+8x+42y+31=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 31 - 4*x + 7*y + 8*x + 42*y = 0
$$- 4 x^{2} + 8 x + 7 y^{2} + 42 y + 31 = 0$$
-4*x^2 + 8*x + 7*y^2 + 42*y + 31 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 4 x^{2} + 8 x + 7 y^{2} + 42 y + 31 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 4$$
$$a_{22} = 7$$
$$a_{23} = 21$$
$$a_{33} = 31$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}-4 & 0\\0 & 7\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -28$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$4 - 4 x_{0} = 0$$
$$7 y_{0} + 21 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 1$$
$$y_{0} = -3$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 4 x_{0} + 21 y_{0} + 31$$
$$a'_{33} = -28$$
entonces la ecuación se transformará en
$$- 4 x'^{2} + 7 y'^{2} - 28 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{7} - \frac{\tilde y^{2}}{4} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
$$- 4 x^{2} + 8 x + 7 y^{2} + 42 y + 31 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 4$$
$$a_{22} = 7$$
$$a_{23} = 21$$
$$a_{33} = 31$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}-4 & 0\\0 & 7\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -28$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$4 - 4 x_{0} = 0$$
$$7 y_{0} + 21 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 1$$
$$y_{0} = -3$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 4 x_{0} + 21 y_{0} + 31$$
$$a'_{33} = -28$$
entonces la ecuación se transformará en
$$- 4 x'^{2} + 7 y'^{2} - 28 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{7} - \frac{\tilde y^{2}}{4} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(1, -3)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 4 x^{2} + 8 x + 7 y^{2} + 42 y + 31 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 4$$
$$a_{22} = 7$$
$$a_{23} = 21$$
$$a_{33} = 31$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-4 & 0 & 4\\0 & 7 & 21\\4 & 21 & 31\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 4 & 0\\0 & 7 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = -28$$
$$I_{3} = 784$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda - 28$$
$$K_{2} = -364$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 3 \lambda - 28 = 0$$
$$\lambda_{1} = 7$$
$$\lambda_{2} = -4$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$7 \tilde x^{2} - 4 \tilde y^{2} - 28 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{4} - \frac{\tilde y^{2}}{7} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$- 4 x^{2} + 8 x + 7 y^{2} + 42 y + 31 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 4$$
$$a_{22} = 7$$
$$a_{23} = 21$$
$$a_{33} = 31$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
|-4 0|
I2 = | |
|0 7|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-4 & 0 & 4\\0 & 7 & 21\\4 & 21 & 31\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 4 & 0\\0 & 7 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|-4 4 | |7 21|
K2 = | | + | |
|4 31| |21 31|$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = -28$$
$$I_{3} = 784$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda - 28$$
$$K_{2} = -364$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 3 \lambda - 28 = 0$$
$$\lambda_{1} = 7$$
$$\lambda_{2} = -4$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$7 \tilde x^{2} - 4 \tilde y^{2} - 28 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{4} - \frac{\tilde y^{2}}{7} = 1$$
- está reducida a la forma canónica