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Forma canónica/ x^2+2xy+5y^2-32*x=0

x^2+2xy+5y^2-32*x=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
 2             2            
x  - 32*x + 5*y  + 2*x*y = 0
x2+2xy−32x+5y2=0x^{2} + 2 x y - 32 x + 5 y^{2} = 0 
x^2 + 2*x*y - 32*x + 5*y^2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2+2xy−32x+5y2=0x^{2} + 2 x y - 32 x + 5 y^{2} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=1a_{12} = 1
a13=−16a_{13} = -16
a22=5a_{22} = 5
a23=0a_{23} = 0
a33=0a_{33} = 0
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣1115∣\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 1\\1 & 5\end{matrix}\right|
Δ=4\Delta = 4
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
x0+y0−16=0x_{0} + y_{0} - 16 = 0
x0+5y0=0x_{0} + 5 y_{0} = 0
entonces
x0=20x_{0} = 20
y0=−4y_{0} = -4
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−16x0a'_{33} = - 16 x_{0}
a33′=−320a'_{33} = -320
entonces la ecuación se transformará en
x′2+2x′y′+5y′2−320=0x'^{2} + 2 x' y' + 5 y'^{2} - 320 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−2\cot{\left(2 \phi \right)} = -2
entonces
ϕ=−acot⁡(2)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(2 \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−55\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{\sqrt{5}}{5}
cos⁡(2ϕ)=255\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=55+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=−12−55\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5}}
sustituimos coeficientes
x′=x~55+12+y~12−55x' = \tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5}}
y′=−x~12−55+y~55+12y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}}
entonces la ecuación se transformará de
x′2+2x′y′+5y′2−320=0x'^{2} + 2 x' y' + 5 y'^{2} - 320 = 0
en
5(−x~12−55+y~55+12)2+2(−x~12−55+y~55+12)(x~55+12+y~12−55)+(x~55+12+y~12−55)2−320=05 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}}\right)^{2} + 2 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5}}\right) + \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5}}\right)^{2} - 320 = 0
simplificamos
−45x~25−2x~212−5555+12+3x~2−8x~y~12−5555+12+45x~y~5+2y~212−5555+12+45y~25+3y~2−320=0- \frac{4 \sqrt{5} \tilde x^{2}}{5} - 2 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}} + 3 \tilde x^{2} - 8 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}} + \frac{4 \sqrt{5} \tilde x \tilde y}{5} + 2 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}} + \frac{4 \sqrt{5} \tilde y^{2}}{5} + 3 \tilde y^{2} - 320 = 0
−5x~2+3x~2+5y~2+3y~2−320=0- \sqrt{5} \tilde x^{2} + 3 \tilde x^{2} + \sqrt{5} \tilde y^{2} + 3 \tilde y^{2} - 320 = 0
Esta ecuación es una elipsis
x~2(15403−5)2+y~2(15405+3)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{40} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{40} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}\right)^{2}} = 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(20, -4)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(55+12, −12−55)\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5}}\right)
e⃗2=(12−55, 55+12)\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5}}, \ \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2+2xy−32x+5y2=0x^{2} + 2 x y - 32 x + 5 y^{2} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=1a_{12} = 1
a13=−16a_{13} = -16
a22=5a_{22} = 5
a23=0a_{23} = 0
a33=0a_{33} = 0
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=6I_{1} = 6
     |1  1|
I2 = |    |
     |1  5|

I3=∣11−16150−1600∣I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 1 & -16\\1 & 5 & 0\\-16 & 0 & 0\end{matrix}\right|
I(λ)=∣1−λ115−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 1\\1 & 5 - \lambda\end{matrix}\right|
     | 1   -16|   |5  0|
K2 = |        | + |    |
     |-16   0 |   |0  0|

I1=6I_{1} = 6
I2=4I_{2} = 4
I3=−1280I_{3} = -1280
I(λ)=λ2−6λ+4I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 6 \lambda + 4
K2=−256K_{2} = -256
Como
I2>0∧I1I3<0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−6λ+4=0\lambda^{2} - 6 \lambda + 4 = 0
λ1=3−5\lambda_{1} = 3 - \sqrt{5}
λ2=5+3\lambda_{2} = \sqrt{5} + 3
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
x~2(3−5)+y~2(5+3)−320=0\tilde x^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right) + \tilde y^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right) - 320 = 0
x~2(15403−5)2+y~2(15405+3)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{40} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{40} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}\right)^{2}} = 1
- está reducida a la forma canónica
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