Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: x2+2xy−32x+5y2=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=1 a12=1 a13=−16 a22=5 a23=0 a33=0 Calculemos el determinante Δ=a11a12a12a22 o, sustituimos Δ=1115 Δ=4 Como Δ no es igual a 0, entonces hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones a11x0+a12y0+a13=0 a12x0+a22y0+a23=0 sustituimos coeficientes x0+y0−16=0 x0+5y0=0 entonces x0=20 y0=−4 Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y' a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0 donde a33′=a13x0+a23y0+a33 o a33′=−16x0 a33′=−320 entonces la ecuación se transformará en x′2+2x′y′+5y′2−320=0 Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ x′=x~cos(ϕ)−y~sin(ϕ) y′=x~sin(ϕ)+y~cos(ϕ) φ - se define de la fórmula cot(2ϕ)=2a12a11−a22 sustituimos coeficientes cot(2ϕ)=−2 entonces ϕ=−2acot(2) sin(2ϕ)=−55 cos(2ϕ)=525 cos(ϕ)=2cos(2ϕ)+21 sin(ϕ)=1−cos2(ϕ) cos(ϕ)=55+21 sin(ϕ)=−21−55 sustituimos coeficientes x′=x~55+21+y~21−55 y′=−x~21−55+y~55+21 entonces la ecuación se transformará de x′2+2x′y′+5y′2−320=0 en 5−x~21−55+y~55+212+2−x~21−55+y~55+21x~55+21+y~21−55+x~55+21+y~21−552−320=0 simplificamos −545x~2−2x~221−5555+21+3x~2−8x~y~21−5555+21+545x~y~+2y~221−5555+21+545y~2+3y~2−320=0 −5x~2+3x~2+5y~2+3y~2−320=0 Esta ecuación es una elipsis (4053−51)2x~2+(4055+31)2y~2=1 - está reducida a la forma canónica Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(20, -4)
Base de las coordenadas canónicas e1=55+21,−21−55 e2=21−55,55+21
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: x2+2xy−32x+5y2=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=1 a12=1 a13=−16 a22=5 a23=0 a33=0 Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes: I1=a11+a22
I1=6 I2=4 I3=−1280 I(λ)=λ2−6λ+4 K2=−256 Como I2>0∧I1I3<0 entonces por razón de tipos de rectas: esta ecuación tiene el tipo : elipsis Formulamos la ecuación característica para nuestra línea: −I1λ+I2+λ2=0 o λ2−6λ+4=0 λ1=3−5 λ2=5+3 entonces la forma canónica de la ecuación será x~2λ1+y~2λ2+I2I3=0 o x~2(3−5)+y~2(5+3)−320=0 (4053−51)2x~2+(4055+31)2y~2=1 - está reducida a la forma canónica