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Forma canónica/ 9x^2+16y^2-36x-108=0

9x^2+16y^2-36x-108=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                 2       2    
-108 - 36*x + 9*x  + 16*y  = 0
9x2−36x+16y2−108=09 x^{2} - 36 x + 16 y^{2} - 108 = 0 
9*x^2 - 36*x + 16*y^2 - 108 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
9x2−36x+16y2−108=09 x^{2} - 36 x + 16 y^{2} - 108 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=9a_{11} = 9
a12=0a_{12} = 0
a13=−18a_{13} = -18
a22=16a_{22} = 16
a23=0a_{23} = 0
a33=−108a_{33} = -108
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣90016∣\Delta = \left|\begin{matrix}9 & 0\\0 & 16\end{matrix}\right|
Δ=144\Delta = 144
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
9x0−18=09 x_{0} - 18 = 0
16y0=016 y_{0} = 0
entonces
x0=2x_{0} = 2
y0=0y_{0} = 0
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−18x0−108a'_{33} = - 18 x_{0} - 108
a33′=−144a'_{33} = -144
entonces la ecuación se transformará en
9x′2+16y′2−144=09 x'^{2} + 16 y'^{2} - 144 = 0
Esta ecuación es una elipsis
        2           2    
\tilde x    \tilde y     
--------- + --------- = 1
        2           2    
/  1   \    /  1   \     
|------|    |------|     
\3*1/12/    \4*1/12/

- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(2, 0)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
9x2−36x+16y2−108=09 x^{2} - 36 x + 16 y^{2} - 108 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=9a_{11} = 9
a12=0a_{12} = 0
a13=−18a_{13} = -18
a22=16a_{22} = 16
a23=0a_{23} = 0
a33=−108a_{33} = -108
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=25I_{1} = 25
     |9  0 |
I2 = |     |
     |0  16|

I3=∣90−180160−180−108∣I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & 0 & -18\\0 & 16 & 0\\-18 & 0 & -108\end{matrix}\right|
I(λ)=∣9−λ0016−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}9 - \lambda & 0\\0 & 16 - \lambda\end{matrix}\right|
     | 9   -18 |   |16   0  |
K2 = |         | + |        |
     |-18  -108|   |0   -108|

I1=25I_{1} = 25
I2=144I_{2} = 144
I3=−20736I_{3} = -20736
I(λ)=λ2−25λ+144I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 25 \lambda + 144
K2=−3024K_{2} = -3024
Como
I2>0∧I1I3<0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−25λ+144=0\lambda^{2} - 25 \lambda + 144 = 0
λ1=16\lambda_{1} = 16
λ2=9\lambda_{2} = 9
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
16x~2+9y~2−144=016 \tilde x^{2} + 9 \tilde y^{2} - 144 = 0
        2           2    
\tilde x    \tilde y     
--------- + --------- = 1
        2           2    
/  1   \    /  1   \     
|------|    |------|     
\4*1/12/    \3*1/12/

- está reducida a la forma canónica
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