Sr Examen
4x^2-2x+1 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} - 2 x + 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 1$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 0\\0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
$$\left(2 \tilde x - \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{3}{4}$$
$$\left(\tilde x - \frac{1}{4}\right)^{2} = - \frac{3}{16}$$
$$\tilde x'^{2} = - \frac{3}{16}$$
Esta ecuación es dos rectas paralelas
- está reducida a la forma canónica
donde se ha hecho la sustitución
$$\tilde x' = \tilde x - \frac{1}{4}$$
$$\tilde y' = \tilde y$$
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \cdot 0 + \frac{1}{4}$$
$$y_{0} = \frac{0}{4}$$
$$x_{0} = \frac{1}{4}$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
$$4 x^{2} - 2 x + 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 1$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 0\\0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
$$\left(2 \tilde x - \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{3}{4}$$
$$\left(\tilde x - \frac{1}{4}\right)^{2} = - \frac{3}{16}$$
$$\tilde x'^{2} = - \frac{3}{16}$$
Esta ecuación es dos rectas paralelas
- está reducida a la forma canónica
donde se ha hecho la sustitución
$$\tilde x' = \tilde x - \frac{1}{4}$$
$$\tilde y' = \tilde y$$
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \cdot 0 + \frac{1}{4}$$
$$y_{0} = \frac{0}{4}$$
$$x_{0} = \frac{1}{4}$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(1/4, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} - 2 x + 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 1$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 4$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 0 & -1\\0 & 0 & 0\\-1 & 0 & 1\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 0\\0 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 4$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 4 \lambda$$
$$K_{2} = 3$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge K_{2} > 0 \wedge I_{1} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : dos rectos paralelos imaginarios
$$I_{1} \tilde y^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0$$
o
$$4 \tilde y^{2} + \frac{3}{4} = 0$$
- está reducida a la forma canónica
$$4 x^{2} - 2 x + 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 1$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 4$$
|4 0|
I2 = | |
|0 0|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 0 & -1\\0 & 0 & 0\\-1 & 0 & 1\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 0\\0 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
|4 -1| |0 0|
K2 = | | + | |
|-1 1 | |0 1|$$I_{1} = 4$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 4 \lambda$$
$$K_{2} = 3$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge K_{2} > 0 \wedge I_{1} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : dos rectos paralelos imaginarios
$$I_{1} \tilde y^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0$$
o
$$4 \tilde y^{2} + \frac{3}{4} = 0$$
None
- está reducida a la forma canónica