Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} - 12 x y + 2 x + 9 y^{2} + 10 y + 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = -6$$
$$a_{13} = 1$$
$$a_{22} = 9$$
$$a_{23} = 5$$
$$a_{33} = 1$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & -6\\-6 & 9\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{5}{12}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{5}{12} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{12}{13}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{5}{13}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} - \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}$$
$$y' = \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$4 x'^{2} - 12 x' y' + 2 x' + 9 y'^{2} + 10 y' + 1 = 0$$
en
$$9 \left(\frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right)^{2} - 12 \left(\frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} - \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) + 10 \left(\frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) + 4 \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} - \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right)^{2} + 2 \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} - \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) + 1 = 0$$
simplificamos
$$2 \sqrt{13} \tilde x + 13 \tilde y^{2} + 2 \sqrt{13} \tilde y + 1 = 0$$
$$\left(\sqrt{13} \tilde y + 1\right)^{2} = - 2 \sqrt{13} \tilde x$$
$$\left(\tilde y + \frac{\sqrt{13}}{13}\right)^{2} = - \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13}$$
$$\tilde y'^{2} = - \frac{2 \sqrt{13} \tilde x'}{13}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{3 \sqrt{13}}{13} + 0 \frac{2 \sqrt{13}}{13}$$
$$y_{0} = 0 \frac{2 \sqrt{13}}{13} + 0 \frac{3 \sqrt{13}}{13}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{3 \sqrt{13}}{13}, \ \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{2 \sqrt{13}}{13}, \ \frac{3 \sqrt{13}}{13}\right)$$