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Forma canónica/ xy+3y^2+16x+y-36=0

xy+3y^2+16x+y-36=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
             2                 
-36 + y + 3*y  + 16*x + x*y = 0
xy+16x+3y2+y−36=0x y + 16 x + 3 y^{2} + y - 36 = 0 
x*y + 16*x + 3*y^2 + y - 36 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
xy+16x+3y2+y−36=0x y + 16 x + 3 y^{2} + y - 36 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=0a_{11} = 0
a12=12a_{12} = \frac{1}{2}
a13=8a_{13} = 8
a22=3a_{22} = 3
a23=12a_{23} = \frac{1}{2}
a33=−36a_{33} = -36
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣012123∣\Delta = \left|\begin{matrix}0 & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & 3\end{matrix}\right|
Δ=−14\Delta = - \frac{1}{4}
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
y02+8=0\frac{y_{0}}{2} + 8 = 0
x02+3y0+12=0\frac{x_{0}}{2} + 3 y_{0} + \frac{1}{2} = 0
entonces
x0=95x_{0} = 95
y0=−16y_{0} = -16
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=8x0+y02−36a'_{33} = 8 x_{0} + \frac{y_{0}}{2} - 36
a33′=716a'_{33} = 716
entonces la ecuación se transformará en
x′y′+3y′2+716=0x' y' + 3 y'^{2} + 716 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−3\cot{\left(2 \phi \right)} = -3
entonces
ϕ=−acot⁡(3)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(3 \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−1010\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{\sqrt{10}}{10}
cos⁡(2ϕ)=31010\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=31020+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=−12−31020\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}
sustituimos coeficientes
x′=x~31020+12+y~12−31020x' = \tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}
y′=−x~12−31020+y~31020+12y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}
entonces la ecuación se transformará de
x′y′+3y′2+716=0x' y' + 3 y'^{2} + 716 = 0
en
3(−x~12−31020+y~31020+12)2+(−x~12−31020+y~31020+12)(x~31020+12+y~12−31020)+716=03 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right)^{2} + \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}\right) + 716 = 0
simplificamos
−910x~220−x~212−3102031020+12+3x~22−6x~y~12−3102031020+12+310x~y~10+y~212−3102031020+12+910y~220+3y~22+716=0- \frac{9 \sqrt{10} \tilde x^{2}}{20} - \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} - 6 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde x \tilde y}{10} + \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \frac{9 \sqrt{10} \tilde y^{2}}{20} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} + 716 = 0
−10x~22+3x~22+3y~22+10y~22+716=0- \frac{\sqrt{10} \tilde x^{2}}{2} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} + \frac{\sqrt{10} \tilde y^{2}}{2} + 716 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~27161−32+102−y~2716132+102=1\frac{\tilde x^{2}}{716 \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{716 \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} = 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(95, -16)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(31020+12, −12−31020)\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}\right)
e⃗2=(12−31020, 31020+12)\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}, \ \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
xy+16x+3y2+y−36=0x y + 16 x + 3 y^{2} + y - 36 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=0a_{11} = 0
a12=12a_{12} = \frac{1}{2}
a13=8a_{13} = 8
a22=3a_{22} = 3
a23=12a_{23} = \frac{1}{2}
a33=−36a_{33} = -36
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=3I_{1} = 3
     | 0   1/2|
I2 = |        |
     |1/2   3 |

I3=∣012812312812−36∣I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 8\\\frac{1}{2} & 3 & \frac{1}{2}\\8 & \frac{1}{2} & -36\end{matrix}\right|
I(λ)=∣−λ12123−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & 3 - \lambda\end{matrix}\right|
     |0   8 |   | 3   1/2|
K2 = |      | + |        |
     |8  -36|   |1/2  -36|

I1=3I_{1} = 3
I2=−14I_{2} = - \frac{1}{4}
I3=−179I_{3} = -179
I(λ)=λ2−3λ−14I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda - \frac{1}{4}
K2=−6894K_{2} = - \frac{689}{4}
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−3λ−14=0\lambda^{2} - 3 \lambda - \frac{1}{4} = 0
λ1=32−102\lambda_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{10}}{2}
λ2=32+102\lambda_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
x~2(32−102)+y~2(32+102)+716=0\tilde x^{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{10}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}\right) + 716 = 0
x~27161−32+102−y~2716132+102=1\frac{\tilde x^{2}}{716 \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{716 \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} = 1
- está reducida a la forma canónica
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