Sr Examen
13x^2+10xy+13y^2+72x+72y+72=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 72 + 13*x + 13*y + 72*x + 72*y + 10*x*y = 0
$$13 x^{2} + 10 x y + 72 x + 13 y^{2} + 72 y + 72 = 0$$
13*x^2 + 10*x*y + 72*x + 13*y^2 + 72*y + 72 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$13 x^{2} + 10 x y + 72 x + 13 y^{2} + 72 y + 72 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 13$$
$$a_{12} = 5$$
$$a_{13} = 36$$
$$a_{22} = 13$$
$$a_{23} = 36$$
$$a_{33} = 72$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}13 & 5\\5 & 13\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 144$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$13 x_{0} + 5 y_{0} + 36 = 0$$
$$5 x_{0} + 13 y_{0} + 36 = 0$$
entonces
$$x_{0} = -2$$
$$y_{0} = -2$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 36 x_{0} + 36 y_{0} + 72$$
$$a'_{33} = -72$$
entonces la ecuación se transformará en
$$13 x'^{2} + 10 x' y' + 13 y'^{2} - 72 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 0$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = 1$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = 0$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$13 x'^{2} + 10 x' y' + 13 y'^{2} - 72 = 0$$
en
$$13 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} + 10 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + 13 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 72 = 0$$
simplificamos
$$18 \tilde x^{2} + 8 \tilde y^{2} - 72 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{6} \sqrt{2}}{\frac{1}{12} \sqrt{2}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{4} \sqrt{2}}{\frac{1}{12} \sqrt{2}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$13 x^{2} + 10 x y + 72 x + 13 y^{2} + 72 y + 72 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 13$$
$$a_{12} = 5$$
$$a_{13} = 36$$
$$a_{22} = 13$$
$$a_{23} = 36$$
$$a_{33} = 72$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}13 & 5\\5 & 13\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 144$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$13 x_{0} + 5 y_{0} + 36 = 0$$
$$5 x_{0} + 13 y_{0} + 36 = 0$$
entonces
$$x_{0} = -2$$
$$y_{0} = -2$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 36 x_{0} + 36 y_{0} + 72$$
$$a'_{33} = -72$$
entonces la ecuación se transformará en
$$13 x'^{2} + 10 x' y' + 13 y'^{2} - 72 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 0$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = 1$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = 0$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$13 x'^{2} + 10 x' y' + 13 y'^{2} - 72 = 0$$
en
$$13 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} + 10 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + 13 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 72 = 0$$
simplificamos
$$18 \tilde x^{2} + 8 \tilde y^{2} - 72 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{6} \sqrt{2}}{\frac{1}{12} \sqrt{2}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{4} \sqrt{2}}{\frac{1}{12} \sqrt{2}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-2, -2)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$13 x^{2} + 10 x y + 72 x + 13 y^{2} + 72 y + 72 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 13$$
$$a_{12} = 5$$
$$a_{13} = 36$$
$$a_{22} = 13$$
$$a_{23} = 36$$
$$a_{33} = 72$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 26$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}13 & 5 & 36\\5 & 13 & 36\\36 & 36 & 72\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}13 - \lambda & 5\\5 & 13 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 26$$
$$I_{2} = 144$$
$$I_{3} = -10368$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 26 \lambda + 144$$
$$K_{2} = -720$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 26 \lambda + 144 = 0$$
$$\lambda_{1} = 18$$
$$\lambda_{2} = 8$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$18 \tilde x^{2} + 8 \tilde y^{2} - 72 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{6} \sqrt{2}}{\frac{1}{12} \sqrt{2}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{4} \sqrt{2}}{\frac{1}{12} \sqrt{2}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$13 x^{2} + 10 x y + 72 x + 13 y^{2} + 72 y + 72 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 13$$
$$a_{12} = 5$$
$$a_{13} = 36$$
$$a_{22} = 13$$
$$a_{23} = 36$$
$$a_{33} = 72$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 26$$
|13 5 |
I2 = | |
|5 13|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}13 & 5 & 36\\5 & 13 & 36\\36 & 36 & 72\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}13 - \lambda & 5\\5 & 13 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|13 36| |13 36|
K2 = | | + | |
|36 72| |36 72|$$I_{1} = 26$$
$$I_{2} = 144$$
$$I_{3} = -10368$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 26 \lambda + 144$$
$$K_{2} = -720$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 26 \lambda + 144 = 0$$
$$\lambda_{1} = 18$$
$$\lambda_{2} = 8$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$18 \tilde x^{2} + 8 \tilde y^{2} - 72 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{6} \sqrt{2}}{\frac{1}{12} \sqrt{2}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{4} \sqrt{2}}{\frac{1}{12} \sqrt{2}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica