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Forma canónica/ 4x^2-9y^2-40x+36y+100=0

4x^2-9y^2-40x+36y+100=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                2      2           
100 - 40*x - 9*y  + 4*x  + 36*y = 0
4x2−40x−9y2+36y+100=04 x^{2} - 40 x - 9 y^{2} + 36 y + 100 = 0 
4*x^2 - 40*x - 9*y^2 + 36*y + 100 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2−40x−9y2+36y+100=04 x^{2} - 40 x - 9 y^{2} + 36 y + 100 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=0a_{12} = 0
a13=−20a_{13} = -20
a22=−9a_{22} = -9
a23=18a_{23} = 18
a33=100a_{33} = 100
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣400−9∣\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 0\\0 & -9\end{matrix}\right|
Δ=−36\Delta = -36
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
4x0−20=04 x_{0} - 20 = 0
18−9y0=018 - 9 y_{0} = 0
entonces
x0=5x_{0} = 5
y0=2y_{0} = 2
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−20x0+18y0+100a'_{33} = - 20 x_{0} + 18 y_{0} + 100
a33′=36a'_{33} = 36
entonces la ecuación se transformará en
4x′2−9y′2+36=04 x'^{2} - 9 y'^{2} + 36 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~29−y~24=−1\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{4} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(5, 2)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2−40x−9y2+36y+100=04 x^{2} - 40 x - 9 y^{2} + 36 y + 100 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=0a_{12} = 0
a13=−20a_{13} = -20
a22=−9a_{22} = -9
a23=18a_{23} = 18
a33=100a_{33} = 100
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=−5I_{1} = -5
     |4  0 |
I2 = |     |
     |0  -9|

I3=∣40−200−918−2018100∣I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 0 & -20\\0 & -9 & 18\\-20 & 18 & 100\end{matrix}\right|
I(λ)=∣4−λ00−λ−9∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 0\\0 & - \lambda - 9\end{matrix}\right|
     | 4   -20|   |-9  18 |
K2 = |        | + |       |
     |-20  100|   |18  100|

I1=−5I_{1} = -5
I2=−36I_{2} = -36
I3=−1296I_{3} = -1296
I(λ)=λ2+5λ−36I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 5 \lambda - 36
K2=−1224K_{2} = -1224
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2+5λ−36=0\lambda^{2} + 5 \lambda - 36 = 0
λ1=4\lambda_{1} = 4
λ2=−9\lambda_{2} = -9
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
4x~2−9y~2+36=04 \tilde x^{2} - 9 \tilde y^{2} + 36 = 0
x~29−y~24=−1\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{4} = -1
- está reducida a la forma canónica
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