Sr Examen
3x^2-4xy-4y^2+16x+16y-12=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 -12 - 4*y + 3*x + 16*x + 16*y - 4*x*y = 0
$$3 x^{2} - 4 x y + 16 x - 4 y^{2} + 16 y - 12 = 0$$
3*x^2 - 4*x*y + 16*x - 4*y^2 + 16*y - 12 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$3 x^{2} - 4 x y + 16 x - 4 y^{2} + 16 y - 12 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 3$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = 8$$
$$a_{22} = -4$$
$$a_{23} = 8$$
$$a_{33} = -12$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}3 & -2\\-2 & -4\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -16$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$3 x_{0} - 2 y_{0} + 8 = 0$$
$$- 2 x_{0} - 4 y_{0} + 8 = 0$$
entonces
$$x_{0} = -1$$
$$y_{0} = \frac{5}{2}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 8 x_{0} + 8 y_{0} - 12$$
$$a'_{33} = 0$$
entonces la ecuación se transformará en
$$3 x'^{2} - 4 x' y' - 4 y'^{2} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{7}{4}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{7}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4 \sqrt{65}}{65}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{7 \sqrt{65}}{65}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}}$$
$$y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}} + \tilde y \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$3 x'^{2} - 4 x' y' - 4 y'^{2} = 0$$
en
$$- 4 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}} + \tilde y \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 4 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}} + \tilde y \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}}\right) + 3 \left(\tilde x \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}}\right)^{2} = 0$$
simplificamos
$$- \frac{\tilde x^{2}}{2} + 4 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}} \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}} + \frac{49 \sqrt{65} \tilde x^{2}}{130} - \frac{28 \sqrt{65} \tilde x \tilde y}{65} + 14 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}} \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}} - \frac{49 \sqrt{65} \tilde y^{2}}{130} - 4 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}} \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{2} = 0$$
$$- \frac{\sqrt{65} \tilde x^{2}}{2} + \frac{\tilde x^{2}}{2} + \frac{\tilde y^{2}}{2} + \frac{\sqrt{65} \tilde y^{2}}{2} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola degenerada
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}}\right)^{2}} = 0$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}}, \ \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}}\right)$$
$$3 x^{2} - 4 x y + 16 x - 4 y^{2} + 16 y - 12 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 3$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = 8$$
$$a_{22} = -4$$
$$a_{23} = 8$$
$$a_{33} = -12$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}3 & -2\\-2 & -4\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -16$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$3 x_{0} - 2 y_{0} + 8 = 0$$
$$- 2 x_{0} - 4 y_{0} + 8 = 0$$
entonces
$$x_{0} = -1$$
$$y_{0} = \frac{5}{2}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 8 x_{0} + 8 y_{0} - 12$$
$$a'_{33} = 0$$
entonces la ecuación se transformará en
$$3 x'^{2} - 4 x' y' - 4 y'^{2} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{7}{4}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{7}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4 \sqrt{65}}{65}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{7 \sqrt{65}}{65}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}}$$
$$y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}} + \tilde y \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$3 x'^{2} - 4 x' y' - 4 y'^{2} = 0$$
en
$$- 4 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}} + \tilde y \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 4 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}} + \tilde y \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}}\right) + 3 \left(\tilde x \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}}\right)^{2} = 0$$
simplificamos
$$- \frac{\tilde x^{2}}{2} + 4 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}} \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}} + \frac{49 \sqrt{65} \tilde x^{2}}{130} - \frac{28 \sqrt{65} \tilde x \tilde y}{65} + 14 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}} \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}} - \frac{49 \sqrt{65} \tilde y^{2}}{130} - 4 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}} \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{2} = 0$$
$$- \frac{\sqrt{65} \tilde x^{2}}{2} + \frac{\tilde x^{2}}{2} + \frac{\tilde y^{2}}{2} + \frac{\sqrt{65} \tilde y^{2}}{2} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola degenerada
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}}\right)^{2}} = 0$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-1, 5/2)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{65}}{130}}, \ \sqrt{\frac{7 \sqrt{65}}{130} + \frac{1}{2}}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$3 x^{2} - 4 x y + 16 x - 4 y^{2} + 16 y - 12 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 3$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = 8$$
$$a_{22} = -4$$
$$a_{23} = 8$$
$$a_{33} = -12$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -1$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}3 & -2 & 8\\-2 & -4 & 8\\8 & 8 & -12\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}3 - \lambda & -2\\-2 & - \lambda - 4\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = -1$$
$$I_{2} = -16$$
$$I_{3} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + \lambda - 16$$
$$K_{2} = -116$$
Como
$$I_{3} = 0 \wedge I_{2} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola degenerada
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + \lambda - 16 = 0$$
$$\lambda_{1} = - \frac{\sqrt{65}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$\lambda_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(- \frac{\sqrt{65}}{2} - \frac{1}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}\right) = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}}\right)^{2}} = 0$$
- está reducida a la forma canónica
$$3 x^{2} - 4 x y + 16 x - 4 y^{2} + 16 y - 12 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 3$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = 8$$
$$a_{22} = -4$$
$$a_{23} = 8$$
$$a_{33} = -12$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -1$$
|3 -2|
I2 = | |
|-2 -4|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}3 & -2 & 8\\-2 & -4 & 8\\8 & 8 & -12\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}3 - \lambda & -2\\-2 & - \lambda - 4\end{matrix}\right|$$
|3 8 | |-4 8 |
K2 = | | + | |
|8 -12| |8 -12|$$I_{1} = -1$$
$$I_{2} = -16$$
$$I_{3} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + \lambda - 16$$
$$K_{2} = -116$$
Como
$$I_{3} = 0 \wedge I_{2} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola degenerada
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + \lambda - 16 = 0$$
$$\lambda_{1} = - \frac{\sqrt{65}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$\lambda_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(- \frac{\sqrt{65}}{2} - \frac{1}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}\right) = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}}\right)^{2}} = 0$$
- está reducida a la forma canónica