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Forma canónica/ 11x^2+24xy+4y^2+42x+64y+51=0

11x^2+24xy+4y^2+42x+64y+51=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
        2       2                           
51 + 4*y  + 11*x  + 42*x + 64*y + 24*x*y = 0
11x2+24xy+42x+4y2+64y+51=011 x^{2} + 24 x y + 42 x + 4 y^{2} + 64 y + 51 = 0 
11*x^2 + 24*x*y + 42*x + 4*y^2 + 64*y + 51 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
11x2+24xy+42x+4y2+64y+51=011 x^{2} + 24 x y + 42 x + 4 y^{2} + 64 y + 51 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=11a_{11} = 11
a12=12a_{12} = 12
a13=21a_{13} = 21
a22=4a_{22} = 4
a23=32a_{23} = 32
a33=51a_{33} = 51
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣1112124∣\Delta = \left|\begin{matrix}11 & 12\\12 & 4\end{matrix}\right|
Δ=−100\Delta = -100
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
11x0+12y0+21=011 x_{0} + 12 y_{0} + 21 = 0
12x0+4y0+32=012 x_{0} + 4 y_{0} + 32 = 0
entonces
x0=−3x_{0} = -3
y0=1y_{0} = 1
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=21x0+32y0+51a'_{33} = 21 x_{0} + 32 y_{0} + 51
a33′=20a'_{33} = 20
entonces la ecuación se transformará en
11x′2+24x′y′+4y′2+20=011 x'^{2} + 24 x' y' + 4 y'^{2} + 20 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=724\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{7}{24}
entonces
ϕ=acot⁡(724)2\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{7}{24} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=2425\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{24}{25}
cos⁡(2ϕ)=725\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{7}{25}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=45\cos{\left(\phi \right)} = \frac{4}{5}
sin⁡(ϕ)=35\sin{\left(\phi \right)} = \frac{3}{5}
sustituimos coeficientes
x′=4x~5−3y~5x' = \frac{4 \tilde x}{5} - \frac{3 \tilde y}{5}
y′=3x~5+4y~5y' = \frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}
entonces la ecuación se transformará de
11x′2+24x′y′+4y′2+20=011 x'^{2} + 24 x' y' + 4 y'^{2} + 20 = 0
en
4(3x~5+4y~5)2+24(3x~5+4y~5)(4x~5−3y~5)+11(4x~5−3y~5)2+20=04 \left(\frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right)^{2} + 24 \left(\frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right) \left(\frac{4 \tilde x}{5} - \frac{3 \tilde y}{5}\right) + 11 \left(\frac{4 \tilde x}{5} - \frac{3 \tilde y}{5}\right)^{2} + 20 = 0
simplificamos
20x~2−5y~2+20=020 \tilde x^{2} - 5 \tilde y^{2} + 20 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~21−y~24=−1\frac{\tilde x^{2}}{1} - \frac{\tilde y^{2}}{4} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-3, 1)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(45, 35)\vec e_1 = \left( \frac{4}{5}, \ \frac{3}{5}\right)
e⃗2=(−35, 45)\vec e_2 = \left( - \frac{3}{5}, \ \frac{4}{5}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
11x2+24xy+42x+4y2+64y+51=011 x^{2} + 24 x y + 42 x + 4 y^{2} + 64 y + 51 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=11a_{11} = 11
a12=12a_{12} = 12
a13=21a_{13} = 21
a22=4a_{22} = 4
a23=32a_{23} = 32
a33=51a_{33} = 51
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=15I_{1} = 15
     |11  12|
I2 = |      |
     |12  4 |

I3=∣11122112432213251∣I_{3} = \left|\begin{matrix}11 & 12 & 21\\12 & 4 & 32\\21 & 32 & 51\end{matrix}\right|
I(λ)=∣11−λ12124−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}11 - \lambda & 12\\12 & 4 - \lambda\end{matrix}\right|
     |11  21|   |4   32|
K2 = |      | + |      |
     |21  51|   |32  51|

I1=15I_{1} = 15
I2=−100I_{2} = -100
I3=−2000I_{3} = -2000
I(λ)=λ2−15λ−100I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 15 \lambda - 100
K2=−700K_{2} = -700
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−15λ−100=0\lambda^{2} - 15 \lambda - 100 = 0
λ1=20\lambda_{1} = 20
λ2=−5\lambda_{2} = -5
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
20x~2−5y~2+20=020 \tilde x^{2} - 5 \tilde y^{2} + 20 = 0
x~21−y~24=−1\frac{\tilde x^{2}}{1} - \frac{\tilde y^{2}}{4} = -1
- está reducida a la forma canónica
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