Sr Examen

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4*x^2+4*y^2-4x+8y+59=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src]
              2      2          
59 - 4*x + 4*x  + 4*y  + 8*y = 0
$$4 x^{2} - 4 x + 4 y^{2} + 8 y + 59 = 0$$
4*x^2 - 4*x + 4*y^2 + 8*y + 59 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} - 4 x + 4 y^{2} + 8 y + 59 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -2$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = 4$$
$$a_{33} = 59$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 0\\0 & 4\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 16$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$4 x_{0} - 2 = 0$$
$$4 y_{0} + 4 = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{1}{2}$$
$$y_{0} = -1$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 2 x_{0} + 4 y_{0} + 59$$
$$a'_{33} = 54$$
entonces la ecuación se transformará en
$$4 x'^{2} + 4 y'^{2} + 54 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis imaginaria
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{6}}{18}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{6}}{18}}\right)^{2}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(1/2, -1)

Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} - 4 x + 4 y^{2} + 8 y + 59 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -2$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = 4$$
$$a_{33} = 59$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 8$$
     |4  0|
I2 = |    |
     |0  4|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 0 & -2\\0 & 4 & 4\\-2 & 4 & 59\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 0\\0 & 4 - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |4   -2|   |4  4 |
K2 = |      | + |     |
     |-2  59|   |4  59|

$$I_{1} = 8$$
$$I_{2} = 16$$
$$I_{3} = 864$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 8 \lambda + 16$$
$$K_{2} = 452$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} > 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis imaginaria
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 8 \lambda + 16 = 0$$
$$\lambda_{1} = 4$$
$$\lambda_{2} = 4$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$4 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} + 54 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{6}}{18}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{6}}{18}}\right)^{2}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica