Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} + 16 x + 4 y^{2} + 6 y + 15 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 8$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = 3$$
$$a_{33} = 15$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 0\\0 & 4\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 16$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$4 x_{0} + 8 = 0$$
$$4 y_{0} + 3 = 0$$
entonces
$$x_{0} = -2$$
$$y_{0} = - \frac{3}{4}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 8 x_{0} + 3 y_{0} + 15$$
$$a'_{33} = - \frac{13}{4}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$4 x'^{2} + 4 y'^{2} - \frac{13}{4} = 0$$
Esta ecuación es una circunferencia
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{2 \sqrt{13}}{13}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{2 \sqrt{13}}{13}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-2, -3/4)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$