Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Forma canónica:
- -y1^2-y1y3+5y1y4-y2y3-y2y1+5y2y4+4y3y4+4y1y4
- (x-4)^2+(y+5)^2=25
- 2x^2+4xy+5y^2-6y-3=0
- sqrt(9-x^2-y^2)=0
- Integral de d{x}:
- 25
- Derivada de:
-
25
- Suma de la serie:
-
25
-
Expresiones idénticas
- (x- cuatro)^ dos +(y+ cinco)^ dos = veinticinco
- (x menos 4) al cuadrado más (y más 5) al cuadrado es igual a 25
- (x menos cuatro) en el grado dos más (y más cinco) en el grado dos es igual a veinticinco
- (x-4)2+(y+5)2=25
- x-42+y+52=25
- (x-4)²+(y+5)²=25
- (x-4) en el grado 2+(y+5) en el grado 2=25
- x-4^2+y+5^2=25
-
Expresiones semejantes
- (x-4)^2+(y-5)^2=25
- (x+4)^2+(y+5)^2=25
- (x-4)^2-(y+5)^2=25
(x-4)^2+(y+5)^2=25 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 -25 + (-4 + x) + (5 + y) = 0
$$\left(x - 4\right)^{2} + \left(y + 5\right)^{2} - 25 = 0$$
(x - 4)^2 + (y + 5)^2 - 25 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$\left(x - 4\right)^{2} + \left(y + 5\right)^{2} - 25 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -4$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 5$$
$$a_{33} = 16$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 1$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} - 4 = 0$$
$$y_{0} + 5 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 4$$
$$y_{0} = -5$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 4 x_{0} + 5 y_{0} + 16$$
$$a'_{33} = -25$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} + y'^{2} - 25 = 0$$
Esta ecuación es una circunferencia
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
$$\left(x - 4\right)^{2} + \left(y + 5\right)^{2} - 25 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -4$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 5$$
$$a_{33} = 16$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 1$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} - 4 = 0$$
$$y_{0} + 5 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 4$$
$$y_{0} = -5$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 4 x_{0} + 5 y_{0} + 16$$
$$a'_{33} = -25$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} + y'^{2} - 25 = 0$$
Esta ecuación es una circunferencia
2 2
\tilde x \tilde y
--------- + --------- = 1
2 2
/ 1\ / 1\
\5 / \5 / - está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(4, -5)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$\left(x - 4\right)^{2} + \left(y + 5\right)^{2} - 25 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -4$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 5$$
$$a_{33} = 16$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 2$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & -4\\0 & 1 & 5\\-4 & 5 & 16\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 0\\0 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 2$$
$$I_{2} = 1$$
$$I_{3} = -25$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 2 \lambda + 1$$
$$K_{2} = -9$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : circunferencia
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 2 \lambda + 1 = 0$$
$$\lambda_{1} = 1$$
$$\lambda_{2} = 1$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 25 = 0$$
- está reducida a la forma canónica
$$\left(x - 4\right)^{2} + \left(y + 5\right)^{2} - 25 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -4$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 5$$
$$a_{33} = 16$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 2$$
|1 0|
I2 = | |
|0 1|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & -4\\0 & 1 & 5\\-4 & 5 & 16\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 0\\0 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|1 -4| |1 5 |
K2 = | | + | |
|-4 16| |5 16|$$I_{1} = 2$$
$$I_{2} = 1$$
$$I_{3} = -25$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 2 \lambda + 1$$
$$K_{2} = -9$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : circunferencia
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 2 \lambda + 1 = 0$$
$$\lambda_{1} = 1$$
$$\lambda_{2} = 1$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 25 = 0$$
2 2
\tilde x \tilde y
--------- + --------- = 1
2 2
/ 1\ / 1\
\5 / \5 / - está reducida a la forma canónica