Sr Examen

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a*b+b*c+c*d+d*a=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src]
a*b + a*d + b*c + c*d = 0
$$a b + a d + b c + c d = 0$$
a*b + a*d + b*c + c*d = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$a b + a d + b c + c d = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} d^{2} + 2 a_{12} c d + 2 a_{13} b d + 2 a_{14} d + a_{22} c^{2} + 2 a_{23} b c + 2 a_{24} c + a_{33} b^{2} + 2 a_{34} b + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = \frac{1}{2}$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = \frac{a}{2}$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = \frac{1}{2}$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
$$a_{34} = \frac{a}{2}$$
$$a_{44} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 0$$
     | 0   1/2|   | 0   1/2|   |0  0|
I2 = |        | + |        | + |    |
     |1/2   0 |   |1/2   0 |   |0  0|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0\\\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\0 & \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{a}{2}\\\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{a}{2}\\\frac{a}{2} & 0 & \frac{a}{2} & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & \frac{1}{2} & 0\\\frac{1}{2} & - \lambda & \frac{1}{2}\\0 & \frac{1}{2} & - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |   a|            |   a|
     |0  -|            |0  -|
     |   2|   |0  0|   |   2|
K2 = |    | + |    | + |    |
     |a   |   |0  0|   |a   |
     |-  0|            |-  0|
     |2   |            |2   |

                                     |      a|
     |          a|   | 0   1/2  0|   |0  0  -|
     | 0   1/2  -|   |           |   |      2|
     |          2|   |          a|   |       |
     |           |   |1/2   0   -|   |      a|
K3 = |1/2   0   0| + |          2| + |0  0  -|
     |           |   |           |   |      2|
     | a         |   |      a    |   |       |
     | -    0   0|   | 0    -   0|   |a  a   |
     | 2         |   |      2    |   |-  -  0|
                                     |2  2   |

$$I_{1} = 0$$
$$I_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + \frac{\lambda}{2}$$
$$K_{2} = - \frac{a^{2}}{2}$$
$$K_{3} = 0$$
Como
$$I_{3} = 0 \wedge I_{4} = 0 \wedge I_{2} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - \frac{\lambda}{2} = 0$$
$$\lambda_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\lambda_{3} = 0$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\left(\tilde c^{2} \lambda_{2} + \tilde d^{2} \lambda_{1}\right) + \frac{K_{3}}{I_{2}} = 0$$
$$\frac{\sqrt{2} \tilde c^{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde d^{2}}{2} = 0$$
$$- \frac{\tilde c^{2}}{\left(\sqrt[4]{2}\right)^{2}} + \frac{\tilde d^{2}}{\left(\sqrt[4]{2}\right)^{2}} = 0$$
es la ecuación para el tipo dos planos intersectantes
- está reducida a la forma canónica