Sr Examen

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-1x^2+4xy+5y^2+6yz+z^2=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src]
 2    2      2                    
z  - x  + 5*y  + 4*x*y + 6*y*z = 0
x2+4xy+5y2+6yz+z2=0- x^{2} + 4 x y + 5 y^{2} + 6 y z + z^{2} = 0
-x^2 + 4*x*y + 5*y^2 + 6*y*z + z^2 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
x2+4xy+5y2+6yz+z2=0- x^{2} + 4 x y + 5 y^{2} + 6 y z + z^{2} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13xz+2a14x+a22y2+2a23yz+2a24y+a33z2+2a34z+a44=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0
donde
a11=1a_{11} = -1
a12=2a_{12} = 2
a13=0a_{13} = 0
a14=0a_{14} = 0
a22=5a_{22} = 5
a23=3a_{23} = 3
a24=0a_{24} = 0
a33=1a_{33} = 1
a34=0a_{34} = 0
a44=0a_{44} = 0
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22+a33I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

I3=a11a12a13a12a22a23a13a23a33I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I4=a11a12a13a14a12a22a23a24a13a23a33a34a14a24a34a44I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|
I(λ)=a11λa12a13a12a22λa23a13a23a33λI{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

sustituimos coeficientes
I1=5I_{1} = 5
     |-1  2|   |5  3|   |-1  0|
I2 = |     | + |    | + |     |
     |2   5|   |3  1|   |0   1|

I3=120253031I_{3} = \left|\begin{matrix}-1 & 2 & 0\\2 & 5 & 3\\0 & 3 & 1\end{matrix}\right|
I4=1200253003100000I_{4} = \left|\begin{matrix}-1 & 2 & 0 & 0\\2 & 5 & 3 & 0\\0 & 3 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right|
I(λ)=λ12025λ3031λI{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 1 & 2 & 0\\2 & 5 - \lambda & 3\\0 & 3 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|
     |-1  0|   |5  0|   |1  0|
K2 = |     | + |    | + |    |
     |0   0|   |0  0|   |0  0|

     |-1  2  0|   |5  3  0|   |-1  0  0|
     |        |   |       |   |        |
K3 = |2   5  0| + |3  1  0| + |0   1  0|
     |        |   |       |   |        |
     |0   0  0|   |0  0  0|   |0   0  0|

I1=5I_{1} = 5
I2=14I_{2} = -14
I3=0I_{3} = 0
I4=0I_{4} = 0
I(λ)=λ3+5λ2+14λI{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 5 \lambda^{2} + 14 \lambda
K2=0K_{2} = 0
K3=0K_{3} = 0
Como
I3=0I4=0I20I_{3} = 0 \wedge I_{4} = 0 \wedge I_{2} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
I1λ2+I2λI3+λ3=0- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0
o
λ35λ214λ=0\lambda^{3} - 5 \lambda^{2} - 14 \lambda = 0
λ1=7\lambda_{1} = 7
λ2=2\lambda_{2} = -2
λ3=0\lambda_{3} = 0
entonces la forma canónica de la ecuación será
(x~2λ1+y~2λ2)+K3I2=0\left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right) + \frac{K_{3}}{I_{2}} = 0
7x~22y~2=07 \tilde x^{2} - 2 \tilde y^{2} = 0
x~2(77)2y~2(22)2=0\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} = 0
es la ecuación para el tipo dos planos intersectantes
- está reducida a la forma canónica