Sr Examen

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4x^2-y^2-z^2=4 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src]
      2    2      2    
-4 - y  - z  + 4*x  = 0
$$4 x^{2} - y^{2} - z^{2} - 4 = 0$$
4*x^2 - y^2 - z^2 - 4 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$4 x^{2} - y^{2} - z^{2} - 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 0$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = -1$$
$$a_{34} = 0$$
$$a_{44} = -4$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 2$$
     |4  0 |   |-1  0 |   |4  0 |
I2 = |     | + |      | + |     |
     |0  -1|   |0   -1|   |0  -1|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & -1\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}4 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & -4\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 0 & 0\\0 & - \lambda - 1 & 0\\0 & 0 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|$$
     |4  0 |   |-1  0 |   |-1  0 |
K2 = |     | + |      | + |      |
     |0  -4|   |0   -4|   |0   -4|

     |4  0   0 |   |-1  0   0 |   |4  0   0 |
     |         |   |          |   |         |
K3 = |0  -1  0 | + |0   -1  0 | + |0  -1  0 |
     |         |   |          |   |         |
     |0  0   -4|   |0   0   -4|   |0  0   -4|

$$I_{1} = 2$$
$$I_{2} = -7$$
$$I_{3} = 4$$
$$I_{4} = -16$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 2 \lambda^{2} + 7 \lambda + 4$$
$$K_{2} = -8$$
$$K_{3} = 28$$
Como
I3 != 0

entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - 2 \lambda^{2} - 7 \lambda - 4 = 0$$
$$\lambda_{1} = 4$$
$$\lambda_{2} = -1$$
$$\lambda_{3} = -1$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\left(\tilde z^{2} \lambda_{3} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right)\right) + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$
$$4 \tilde x^{2} - \tilde y^{2} - \tilde z^{2} - 4 = 0$$
        2           2           2     
\tilde y    \tilde z    \tilde x      
--------- + --------- - --------- = -1
      2           2             2     
  / 1\        / 1\       /  1  \      
  \2 /        \2 /       |-----|      
                         \2*1/2/      

es la ecuación para el tipo hiperboloide bilateral
- está reducida a la forma canónica