Sr Examen

Lang:

4x+8y+x^2+4y^2=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

Ha introducido [src]

 2            2          
x  + 4*x + 4*y  + 8*y = 0

x^{2} + 4 x + 4 y^{2} + 8 y = 0

x^2 + 4*x + 4*y^2 + 8*y = 0

Solución detallada

Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:

x^{2} + 4 x + 4 y^{2} + 8 y = 0

Esta ecuación tiene la forma:

a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0

donde

a_{11} = 1

a_{12} = 0

a_{13} = 2

a_{22} = 4

a_{23} = 4

a_{33} = 0

Calculemos el determinante

\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|

o, sustituimos

\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 0\\0 & 4\end{matrix}\right|

\Delta = 4

Como

\Delta

no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones

a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0

a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0

sustituimos coeficientes

x_{0} + 2 = 0

4 y_{0} + 4 = 0

entonces

x_{0} = -2

y_{0} = -1

Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'

a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0

donde

a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}

a'_{33} = 2 x_{0} + 4 y_{0}

a'_{33} = -8

entonces la ecuación se transformará en

x'^{2} + 4 y'^{2} - 8 = 0

Esta ecuación es una elipsis

\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{4} \sqrt{2}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)^{2}} = 1

- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O

(-2, -1)

Base de las coordenadas canónicas

\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)

\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)

Método de invariantes

Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:

x^{2} + 4 x + 4 y^{2} + 8 y = 0

Esta ecuación tiene la forma:

a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0

donde

a_{11} = 1

a_{12} = 0

a_{13} = 2

a_{22} = 4

a_{23} = 4

a_{33} = 0

Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:

I_{1} = a_{11} + a_{22}

     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|

I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|

     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes

I_{1} = 5

     |1  0|
I2 = |    |
     |0  4|

I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & 4 & 4\\2 & 4 & 0\end{matrix}\right|

I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 0\\0 & 4 - \lambda\end{matrix}\right|

     |1  2|   |4  4|
K2 = |    | + |    |
     |2  0|   |4  0|

I_{1} = 5

I_{2} = 4

I_{3} = -32

I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 5 \lambda + 4

K_{2} = -20

Como

I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0

entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:

- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0

\lambda^{2} - 5 \lambda + 4 = 0

\lambda_{1} = 4

\lambda_{2} = 1

entonces la forma canónica de la ecuación será

\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0

4 \tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 8 = 0

\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{4} \sqrt{2}}\right)^{2}} = 1

- está reducida a la forma canónica