Sr Examen
4x^2-24xy+11y^2+56x-58y+95=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 95 - 58*y + 4*x + 11*y + 56*x - 24*x*y = 0
$$4 x^{2} - 24 x y + 56 x + 11 y^{2} - 58 y + 95 = 0$$
4*x^2 - 24*x*y + 56*x + 11*y^2 - 58*y + 95 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} - 24 x y + 56 x + 11 y^{2} - 58 y + 95 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = -12$$
$$a_{13} = 28$$
$$a_{22} = 11$$
$$a_{23} = -29$$
$$a_{33} = 95$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & -12\\-12 & 11\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -100$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$4 x_{0} - 12 y_{0} + 28 = 0$$
$$- 12 x_{0} + 11 y_{0} - 29 = 0$$
entonces
$$x_{0} = - \frac{2}{5}$$
$$y_{0} = \frac{11}{5}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 28 x_{0} - 29 y_{0} + 95$$
$$a'_{33} = 20$$
entonces la ecuación se transformará en
$$4 x'^{2} - 24 x' y' + 11 y'^{2} + 20 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{7}{24}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{7}{24} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{24}{25}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{7}{25}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{4}{5}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{3}{5}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{4 \tilde x}{5} - \frac{3 \tilde y}{5}$$
$$y' = \frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$4 x'^{2} - 24 x' y' + 11 y'^{2} + 20 = 0$$
en
$$11 \left(\frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right)^{2} - 24 \left(\frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right) \left(\frac{4 \tilde x}{5} - \frac{3 \tilde y}{5}\right) + 4 \left(\frac{4 \tilde x}{5} - \frac{3 \tilde y}{5}\right)^{2} + 20 = 0$$
simplificamos
$$- 5 \tilde x^{2} + 20 \tilde y^{2} + 20 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{4} - \frac{\tilde y^{2}}{1} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{4}{5}, \ \frac{3}{5}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{3}{5}, \ \frac{4}{5}\right)$$
$$4 x^{2} - 24 x y + 56 x + 11 y^{2} - 58 y + 95 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = -12$$
$$a_{13} = 28$$
$$a_{22} = 11$$
$$a_{23} = -29$$
$$a_{33} = 95$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & -12\\-12 & 11\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -100$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$4 x_{0} - 12 y_{0} + 28 = 0$$
$$- 12 x_{0} + 11 y_{0} - 29 = 0$$
entonces
$$x_{0} = - \frac{2}{5}$$
$$y_{0} = \frac{11}{5}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 28 x_{0} - 29 y_{0} + 95$$
$$a'_{33} = 20$$
entonces la ecuación se transformará en
$$4 x'^{2} - 24 x' y' + 11 y'^{2} + 20 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{7}{24}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{7}{24} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{24}{25}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{7}{25}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{4}{5}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{3}{5}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{4 \tilde x}{5} - \frac{3 \tilde y}{5}$$
$$y' = \frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$4 x'^{2} - 24 x' y' + 11 y'^{2} + 20 = 0$$
en
$$11 \left(\frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right)^{2} - 24 \left(\frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right) \left(\frac{4 \tilde x}{5} - \frac{3 \tilde y}{5}\right) + 4 \left(\frac{4 \tilde x}{5} - \frac{3 \tilde y}{5}\right)^{2} + 20 = 0$$
simplificamos
$$- 5 \tilde x^{2} + 20 \tilde y^{2} + 20 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{4} - \frac{\tilde y^{2}}{1} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-2/5, 11/5)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{4}{5}, \ \frac{3}{5}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{3}{5}, \ \frac{4}{5}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} - 24 x y + 56 x + 11 y^{2} - 58 y + 95 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = -12$$
$$a_{13} = 28$$
$$a_{22} = 11$$
$$a_{23} = -29$$
$$a_{33} = 95$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 15$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & -12 & 28\\-12 & 11 & -29\\28 & -29 & 95\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & -12\\-12 & 11 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 15$$
$$I_{2} = -100$$
$$I_{3} = -2000$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 15 \lambda - 100$$
$$K_{2} = -200$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 15 \lambda - 100 = 0$$
$$\lambda_{1} = 20$$
$$\lambda_{2} = -5$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$20 \tilde x^{2} - 5 \tilde y^{2} + 20 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{1} - \frac{\tilde y^{2}}{4} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
$$4 x^{2} - 24 x y + 56 x + 11 y^{2} - 58 y + 95 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = -12$$
$$a_{13} = 28$$
$$a_{22} = 11$$
$$a_{23} = -29$$
$$a_{33} = 95$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 15$$
| 4 -12|
I2 = | |
|-12 11 |$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & -12 & 28\\-12 & 11 & -29\\28 & -29 & 95\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & -12\\-12 & 11 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|4 28| |11 -29|
K2 = | | + | |
|28 95| |-29 95 |$$I_{1} = 15$$
$$I_{2} = -100$$
$$I_{3} = -2000$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 15 \lambda - 100$$
$$K_{2} = -200$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 15 \lambda - 100 = 0$$
$$\lambda_{1} = 20$$
$$\lambda_{2} = -5$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$20 \tilde x^{2} - 5 \tilde y^{2} + 20 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{1} - \frac{\tilde y^{2}}{4} = -1$$
- está reducida a la forma canónica