Sr Examen
x^2+y^2+3*x*y+x+4*y-0.5=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
1 2 2 - - + x + x + y + 4*y + 3*x*y = 0 2
$$x^{2} + 3 x y + x + y^{2} + 4 y - \frac{1}{2} = 0$$
x^2 + 3*x*y + x + y^2 + 4*y - 1/2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} + 3 x y + x + y^{2} + 4 y - \frac{1}{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = \frac{3}{2}$$
$$a_{13} = \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 2$$
$$a_{33} = - \frac{1}{2}$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & \frac{3}{2}\\\frac{3}{2} & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = - \frac{5}{4}$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} + \frac{3 y_{0}}{2} + \frac{1}{2} = 0$$
$$\frac{3 x_{0}}{2} + y_{0} + 2 = 0$$
entonces
$$x_{0} = -2$$
$$y_{0} = 1$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = \frac{x_{0}}{2} + 2 y_{0} - \frac{1}{2}$$
$$a'_{33} = \frac{1}{2}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} + 3 x' y' + y'^{2} + \frac{1}{2} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 0$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = 1$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = 0$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$x'^{2} + 3 x' y' + y'^{2} + \frac{1}{2} = 0$$
en
$$\left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} + 3 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} + \frac{1}{2} = 0$$
simplificamos
$$\frac{5 \tilde x^{2}}{2} - \frac{\tilde y^{2}}{2} + \frac{1}{2} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$x^{2} + 3 x y + x + y^{2} + 4 y - \frac{1}{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = \frac{3}{2}$$
$$a_{13} = \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 2$$
$$a_{33} = - \frac{1}{2}$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & \frac{3}{2}\\\frac{3}{2} & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = - \frac{5}{4}$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} + \frac{3 y_{0}}{2} + \frac{1}{2} = 0$$
$$\frac{3 x_{0}}{2} + y_{0} + 2 = 0$$
entonces
$$x_{0} = -2$$
$$y_{0} = 1$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = \frac{x_{0}}{2} + 2 y_{0} - \frac{1}{2}$$
$$a'_{33} = \frac{1}{2}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} + 3 x' y' + y'^{2} + \frac{1}{2} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 0$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = 1$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = 0$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$x'^{2} + 3 x' y' + y'^{2} + \frac{1}{2} = 0$$
en
$$\left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} + 3 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} + \frac{1}{2} = 0$$
simplificamos
$$\frac{5 \tilde x^{2}}{2} - \frac{\tilde y^{2}}{2} + \frac{1}{2} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
2 2 \tilde x \tilde y --------- - --------- = -1 1/5 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-2, 1)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} + 3 x y + x + y^{2} + 4 y - \frac{1}{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = \frac{3}{2}$$
$$a_{13} = \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 2$$
$$a_{33} = - \frac{1}{2}$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 2$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{3}{2} & 1 & 2\\\frac{1}{2} & 2 & - \frac{1}{2}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & \frac{3}{2}\\\frac{3}{2} & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 2$$
$$I_{2} = - \frac{5}{4}$$
$$I_{3} = - \frac{5}{8}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 2 \lambda - \frac{5}{4}$$
$$K_{2} = - \frac{21}{4}$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 2 \lambda - \frac{5}{4} = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{5}{2}$$
$$\lambda_{2} = - \frac{1}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\frac{5 \tilde x^{2}}{2} - \frac{\tilde y^{2}}{2} + \frac{1}{2} = 0$$
- está reducida a la forma canónica
$$x^{2} + 3 x y + x + y^{2} + 4 y - \frac{1}{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = \frac{3}{2}$$
$$a_{13} = \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 2$$
$$a_{33} = - \frac{1}{2}$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 2$$
| 1 3/2|
I2 = | |
|3/2 1 |$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{3}{2} & 1 & 2\\\frac{1}{2} & 2 & - \frac{1}{2}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & \frac{3}{2}\\\frac{3}{2} & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
| 1 1/2 | |1 2 |
K2 = | | + | |
|1/2 -1/2| |2 -1/2|$$I_{1} = 2$$
$$I_{2} = - \frac{5}{4}$$
$$I_{3} = - \frac{5}{8}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 2 \lambda - \frac{5}{4}$$
$$K_{2} = - \frac{21}{4}$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 2 \lambda - \frac{5}{4} = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{5}{2}$$
$$\lambda_{2} = - \frac{1}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\frac{5 \tilde x^{2}}{2} - \frac{\tilde y^{2}}{2} + \frac{1}{2} = 0$$
2 2 \tilde x \tilde y --------- - --------- = -1 1/5 1
- está reducida a la forma canónica