Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$9 x^{2} + 12 x + 9 y^{2} - 6 y + 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 6$$
$$a_{22} = 9$$
$$a_{23} = -3$$
$$a_{33} = 4$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}9 & 0\\0 & 9\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 81$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$9 x_{0} + 6 = 0$$
$$9 y_{0} - 3 = 0$$
entonces
$$x_{0} = - \frac{2}{3}$$
$$y_{0} = \frac{1}{3}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 6 x_{0} - 3 y_{0} + 4$$
$$a'_{33} = -1$$
entonces la ecuación se transformará en
$$9 x'^{2} + 9 y'^{2} - 1 = 0$$
Esta ecuación es una circunferencia
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-2/3, 1/3)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$