Sr Examen
-17x^2+18xy+7y^2-38x-34y+11=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 11 - 38*x - 34*y - 17*x + 7*y + 18*x*y = 0
$$- 17 x^{2} + 18 x y - 38 x + 7 y^{2} - 34 y + 11 = 0$$
-17*x^2 + 18*x*y - 38*x + 7*y^2 - 34*y + 11 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 17 x^{2} + 18 x y - 38 x + 7 y^{2} - 34 y + 11 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -17$$
$$a_{12} = 9$$
$$a_{13} = -19$$
$$a_{22} = 7$$
$$a_{23} = -17$$
$$a_{33} = 11$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}-17 & 9\\9 & 7\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -200$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$- 17 x_{0} + 9 y_{0} - 19 = 0$$
$$9 x_{0} + 7 y_{0} - 17 = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{1}{10}$$
$$y_{0} = \frac{23}{10}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 19 x_{0} - 17 y_{0} + 11$$
$$a'_{33} = -30$$
entonces la ecuación se transformará en
$$- 17 x'^{2} + 18 x' y' + 7 y'^{2} - 30 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4}{3}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{3}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{10}}{10}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}$$
$$y' = - \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$- 17 x'^{2} + 18 x' y' + 7 y'^{2} - 30 = 0$$
en
$$7 \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}\right)^{2} + 18 \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}\right) \left(\frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}\right) - 17 \left(\frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}\right)^{2} - 30 = 0$$
simplificamos
$$- 20 \tilde x^{2} + 10 \tilde y^{2} - 30 = 0$$
$$20 \tilde x^{2} - 10 \tilde y^{2} + 30 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{3}{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{3} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{3 \sqrt{10}}{10}, \ - \frac{\sqrt{10}}{10}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{10}}{10}, \ \frac{3 \sqrt{10}}{10}\right)$$
$$- 17 x^{2} + 18 x y - 38 x + 7 y^{2} - 34 y + 11 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -17$$
$$a_{12} = 9$$
$$a_{13} = -19$$
$$a_{22} = 7$$
$$a_{23} = -17$$
$$a_{33} = 11$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}-17 & 9\\9 & 7\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -200$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$- 17 x_{0} + 9 y_{0} - 19 = 0$$
$$9 x_{0} + 7 y_{0} - 17 = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{1}{10}$$
$$y_{0} = \frac{23}{10}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 19 x_{0} - 17 y_{0} + 11$$
$$a'_{33} = -30$$
entonces la ecuación se transformará en
$$- 17 x'^{2} + 18 x' y' + 7 y'^{2} - 30 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4}{3}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{3}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{10}}{10}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}$$
$$y' = - \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$- 17 x'^{2} + 18 x' y' + 7 y'^{2} - 30 = 0$$
en
$$7 \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}\right)^{2} + 18 \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}\right) \left(\frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}\right) - 17 \left(\frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}\right)^{2} - 30 = 0$$
simplificamos
$$- 20 \tilde x^{2} + 10 \tilde y^{2} - 30 = 0$$
$$20 \tilde x^{2} - 10 \tilde y^{2} + 30 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{3}{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{3} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
23
(1/10, --)
10 Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{3 \sqrt{10}}{10}, \ - \frac{\sqrt{10}}{10}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{10}}{10}, \ \frac{3 \sqrt{10}}{10}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 17 x^{2} + 18 x y - 38 x + 7 y^{2} - 34 y + 11 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -17$$
$$a_{12} = 9$$
$$a_{13} = -19$$
$$a_{22} = 7$$
$$a_{23} = -17$$
$$a_{33} = 11$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -10$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-17 & 9 & -19\\9 & 7 & -17\\-19 & -17 & 11\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 17 & 9\\9 & 7 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = -10$$
$$I_{2} = -200$$
$$I_{3} = 6000$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 10 \lambda - 200$$
$$K_{2} = -760$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + 10 \lambda - 200 = 0$$
$$\lambda_{1} = 10$$
$$\lambda_{2} = -20$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$10 \tilde x^{2} - 20 \tilde y^{2} - 30 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{3} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{3}{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$- 17 x^{2} + 18 x y - 38 x + 7 y^{2} - 34 y + 11 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -17$$
$$a_{12} = 9$$
$$a_{13} = -19$$
$$a_{22} = 7$$
$$a_{23} = -17$$
$$a_{33} = 11$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -10$$
|-17 9|
I2 = | |
| 9 7|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-17 & 9 & -19\\9 & 7 & -17\\-19 & -17 & 11\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 17 & 9\\9 & 7 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|-17 -19| | 7 -17|
K2 = | | + | |
|-19 11 | |-17 11 |$$I_{1} = -10$$
$$I_{2} = -200$$
$$I_{3} = 6000$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 10 \lambda - 200$$
$$K_{2} = -760$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + 10 \lambda - 200 = 0$$
$$\lambda_{1} = 10$$
$$\lambda_{2} = -20$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$10 \tilde x^{2} - 20 \tilde y^{2} - 30 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{3} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{3}{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica