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Forma canónica/ -17x^2+18xy+7y^2-38x-34y+11=0

-17x^2+18xy+7y^2-38x-34y+11=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                       2      2             
11 - 38*x - 34*y - 17*x  + 7*y  + 18*x*y = 0
−17x2+18xy−38x+7y2−34y+11=0- 17 x^{2} + 18 x y - 38 x + 7 y^{2} - 34 y + 11 = 0 
-17*x^2 + 18*x*y - 38*x + 7*y^2 - 34*y + 11 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−17x2+18xy−38x+7y2−34y+11=0- 17 x^{2} + 18 x y - 38 x + 7 y^{2} - 34 y + 11 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−17a_{11} = -17
a12=9a_{12} = 9
a13=−19a_{13} = -19
a22=7a_{22} = 7
a23=−17a_{23} = -17
a33=11a_{33} = 11
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣−17997∣\Delta = \left|\begin{matrix}-17 & 9\\9 & 7\end{matrix}\right|
Δ=−200\Delta = -200
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
−17x0+9y0−19=0- 17 x_{0} + 9 y_{0} - 19 = 0
9x0+7y0−17=09 x_{0} + 7 y_{0} - 17 = 0
entonces
x0=110x_{0} = \frac{1}{10}
y0=2310y_{0} = \frac{23}{10}
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−19x0−17y0+11a'_{33} = - 19 x_{0} - 17 y_{0} + 11
a33′=−30a'_{33} = -30
entonces la ecuación se transformará en
−17x′2+18x′y′+7y′2−30=0- 17 x'^{2} + 18 x' y' + 7 y'^{2} - 30 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−43\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4}{3}
entonces
ϕ=−acot⁡(43)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−35\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{3}{5}
cos⁡(2ϕ)=45\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=31010\cos{\left(\phi \right)} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}
sin⁡(ϕ)=−1010\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{10}}{10}
sustituimos coeficientes
x′=310x~10+10y~10x' = \frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}
y′=−10x~10+310y~10y' = - \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}
entonces la ecuación se transformará de
−17x′2+18x′y′+7y′2−30=0- 17 x'^{2} + 18 x' y' + 7 y'^{2} - 30 = 0
en
7(−10x~10+310y~10)2+18(−10x~10+310y~10)(310x~10+10y~10)−17(310x~10+10y~10)2−30=07 \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}\right)^{2} + 18 \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}\right) \left(\frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}\right) - 17 \left(\frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}\right)^{2} - 30 = 0
simplificamos
−20x~2+10y~2−30=0- 20 \tilde x^{2} + 10 \tilde y^{2} - 30 = 0
20x~2−10y~2+30=020 \tilde x^{2} - 10 \tilde y^{2} + 30 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~232−y~23=−1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{3}{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{3} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
       23 
(1/10, --)
       10

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(31010, −1010)\vec e_1 = \left( \frac{3 \sqrt{10}}{10}, \ - \frac{\sqrt{10}}{10}\right)
e⃗2=(1010, 31010)\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{10}}{10}, \ \frac{3 \sqrt{10}}{10}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−17x2+18xy−38x+7y2−34y+11=0- 17 x^{2} + 18 x y - 38 x + 7 y^{2} - 34 y + 11 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−17a_{11} = -17
a12=9a_{12} = 9
a13=−19a_{13} = -19
a22=7a_{22} = 7
a23=−17a_{23} = -17
a33=11a_{33} = 11
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=−10I_{1} = -10
     |-17  9|
I2 = |      |
     | 9   7|

I3=∣−179−1997−17−19−1711∣I_{3} = \left|\begin{matrix}-17 & 9 & -19\\9 & 7 & -17\\-19 & -17 & 11\end{matrix}\right|
I(λ)=∣−λ−17997−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 17 & 9\\9 & 7 - \lambda\end{matrix}\right|
     |-17  -19|   | 7   -17|
K2 = |        | + |        |
     |-19  11 |   |-17  11 |

I1=−10I_{1} = -10
I2=−200I_{2} = -200
I3=6000I_{3} = 6000
I(λ)=λ2+10λ−200I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 10 \lambda - 200
K2=−760K_{2} = -760
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2+10λ−200=0\lambda^{2} + 10 \lambda - 200 = 0
λ1=10\lambda_{1} = 10
λ2=−20\lambda_{2} = -20
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
10x~2−20y~2−30=010 \tilde x^{2} - 20 \tilde y^{2} - 30 = 0
x~23−y~232=1\frac{\tilde x^{2}}{3} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{3}{2}} = 1
- está reducida a la forma canónica
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