Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Forma canónica:
- 4y^2-48x-20y=71
- -9x^2+4y^2-8y+32=0
- (x+5)²+(y-3)²=9
- 4x^2-12x-16y+41=0
- Suma de la serie:
-
71
-
Expresiones idénticas
- 4y^ dos -48x-20y= setenta y uno
- 4y al cuadrado menos 48x menos 20y es igual a 71
- 4y en el grado dos menos 48x menos 20y es igual a setenta y uno
- 4y2-48x-20y=71
- 4y²-48x-20y=71
- 4y en el grado 2-48x-20y=71
-
Expresiones semejantes
- 4y^2-48x+20y=71
- 4y^2+48x-20y=71
4y^2-48x-20y=71 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 -71 - 48*x - 20*y + 4*y = 0
$$- 48 x + 4 y^{2} - 20 y - 71 = 0$$
-48*x + 4*y^2 - 20*y - 71 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 48 x + 4 y^{2} - 20 y - 71 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -24$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = -10$$
$$a_{33} = -71$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}0 & 0\\0 & 4\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
$$\left(2 \tilde y - 5\right)^{2} = 48 \tilde x + 96$$
$$\left(\tilde y - \frac{5}{2}\right)^{2} = 12 \tilde x + 24$$
$$\tilde y'^{2} = 12 \tilde x + 24$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \cdot 0$$
$$y_{0} = 0 \cdot 0$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
$$- 48 x + 4 y^{2} - 20 y - 71 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -24$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = -10$$
$$a_{33} = -71$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}0 & 0\\0 & 4\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
$$\left(2 \tilde y - 5\right)^{2} = 48 \tilde x + 96$$
$$\left(\tilde y - \frac{5}{2}\right)^{2} = 12 \tilde x + 24$$
$$\tilde y'^{2} = 12 \tilde x + 24$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \cdot 0$$
$$y_{0} = 0 \cdot 0$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 48 x + 4 y^{2} - 20 y - 71 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -24$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = -10$$
$$a_{33} = -71$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 4$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & -24\\0 & 4 & -10\\-24 & -10 & -71\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 0\\0 & 4 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 4$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -2304$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 4 \lambda$$
$$K_{2} = -960$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$48 \tilde x + 4 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = 12 \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica
$$- 48 x + 4 y^{2} - 20 y - 71 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -24$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = -10$$
$$a_{33} = -71$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 4$$
|0 0|
I2 = | |
|0 4|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & -24\\0 & 4 & -10\\-24 & -10 & -71\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 0\\0 & 4 - \lambda\end{matrix}\right|$$
| 0 -24| | 4 -10|
K2 = | | + | |
|-24 -71| |-10 -71|$$I_{1} = 4$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -2304$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 4 \lambda$$
$$K_{2} = -960$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$48 \tilde x + 4 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = 12 \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica