Sr Examen
Forma canónica/
28*(x^2)+16*((3)^(1/2))*x*y+216*((3)^(1/2))*x-12*x+12*(y^2)+12*((3)^(1/2))*y+216*y+1332=1
28*(x^2)+16*((3)^(1/2))*x*y+216*((3)^(1/2))*x-12*x+12*(y^2)+12*((3)^(1/2))*y+216*y+1332=1 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 ___ ___ ___ 1331 - 12*x + 12*y + 28*x + 216*y + 12*y*\/ 3 + 216*x*\/ 3 + 16*x*y*\/ 3 = 0
$$28 x^{2} + 16 \sqrt{3} x y - 12 x + 216 \sqrt{3} x + 12 y^{2} + 12 \sqrt{3} y + 216 y + 1331 = 0$$
28*x^2 + 16*sqrt(3)*x*y - 12*x + 216*sqrt(3)*x + 12*y^2 + 12*sqrt(3)*y + 216*y + 1331 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$28 x^{2} + 16 \sqrt{3} x y - 12 x + 216 \sqrt{3} x + 12 y^{2} + 12 \sqrt{3} y + 216 y + 1331 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 28$$
$$a_{12} = 8 \sqrt{3}$$
$$a_{13} = -6 + 108 \sqrt{3}$$
$$a_{22} = 12$$
$$a_{23} = 6 \sqrt{3} + 108$$
$$a_{33} = 1331$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}28 & 8 \sqrt{3}\\8 \sqrt{3} & 12\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 144$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$28 x_{0} + 8 \sqrt{3} y_{0} - 6 + 108 \sqrt{3} = 0$$
$$8 \sqrt{3} x_{0} + 12 y_{0} + 6 \sqrt{3} + 108 = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}$$
$$y_{0} = -3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = x_{0} \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) + y_{0} \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1331$$
$$a'_{33} = \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1331$$
entonces la ecuación se transformará en
$$28 x'^{2} + 16 \sqrt{3} x' y' + 12 y'^{2} + \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1331 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{6}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{1}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$28 x'^{2} + 16 \sqrt{3} x' y' + 12 y'^{2} + \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1331 = 0$$
en
$$12 \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{3} \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right) + 28 \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right)^{2} + \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1331 = 0$$
simplificamos
$$36 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 1 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{6}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{1}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
$$28 x^{2} + 16 \sqrt{3} x y - 12 x + 216 \sqrt{3} x + 12 y^{2} + 12 \sqrt{3} y + 216 y + 1331 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 28$$
$$a_{12} = 8 \sqrt{3}$$
$$a_{13} = -6 + 108 \sqrt{3}$$
$$a_{22} = 12$$
$$a_{23} = 6 \sqrt{3} + 108$$
$$a_{33} = 1331$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}28 & 8 \sqrt{3}\\8 \sqrt{3} & 12\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 144$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$28 x_{0} + 8 \sqrt{3} y_{0} - 6 + 108 \sqrt{3} = 0$$
$$8 \sqrt{3} x_{0} + 12 y_{0} + 6 \sqrt{3} + 108 = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}$$
$$y_{0} = -3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = x_{0} \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) + y_{0} \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1331$$
$$a'_{33} = \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1331$$
entonces la ecuación se transformará en
$$28 x'^{2} + 16 \sqrt{3} x' y' + 12 y'^{2} + \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1331 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{6}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{1}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$28 x'^{2} + 16 \sqrt{3} x' y' + 12 y'^{2} + \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1331 = 0$$
en
$$12 \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{3} \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right) + 28 \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right)^{2} + \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1331 = 0$$
simplificamos
$$36 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 1 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{6}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
___ 3 ___ 3*\/ 3 (- - 3*\/ 3, -3 - -------) 2 2
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{1}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$28 x^{2} + 16 \sqrt{3} x y - 12 x + 216 \sqrt{3} x + 12 y^{2} + 12 \sqrt{3} y + 216 y + 1331 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 28$$
$$a_{12} = 8 \sqrt{3}$$
$$a_{13} = -6 + 108 \sqrt{3}$$
$$a_{22} = 12$$
$$a_{23} = 6 \sqrt{3} + 108$$
$$a_{33} = 1331$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 40$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}28 & 8 \sqrt{3} & -6 + 108 \sqrt{3}\\8 \sqrt{3} & 12 & 6 \sqrt{3} + 108\\-6 + 108 \sqrt{3} & 6 \sqrt{3} + 108 & 1331\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}28 - \lambda & 8 \sqrt{3}\\8 \sqrt{3} & 12 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 40$$
$$I_{2} = 144$$
$$I_{3} = -144$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 40 \lambda + 144$$
$$K_{2} = 6440$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 40 \lambda + 144 = 0$$
$$\lambda_{1} = 36$$
$$\lambda_{2} = 4$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$36 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 1 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{6}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$28 x^{2} + 16 \sqrt{3} x y - 12 x + 216 \sqrt{3} x + 12 y^{2} + 12 \sqrt{3} y + 216 y + 1331 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 28$$
$$a_{12} = 8 \sqrt{3}$$
$$a_{13} = -6 + 108 \sqrt{3}$$
$$a_{22} = 12$$
$$a_{23} = 6 \sqrt{3} + 108$$
$$a_{33} = 1331$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 40$$
| ___|
| 28 8*\/ 3 |
I2 = | |
| ___ |
|8*\/ 3 12 |$$I_{3} = \left|\begin{matrix}28 & 8 \sqrt{3} & -6 + 108 \sqrt{3}\\8 \sqrt{3} & 12 & 6 \sqrt{3} + 108\\-6 + 108 \sqrt{3} & 6 \sqrt{3} + 108 & 1331\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}28 - \lambda & 8 \sqrt{3}\\8 \sqrt{3} & 12 - \lambda\end{matrix}\right|$$
| ___| | ___|
| 28 -6 + 108*\/ 3 | | 12 108 + 6*\/ 3 |
K2 = | | + | |
| ___ | | ___ |
|-6 + 108*\/ 3 1331 | |108 + 6*\/ 3 1331 |$$I_{1} = 40$$
$$I_{2} = 144$$
$$I_{3} = -144$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 40 \lambda + 144$$
$$K_{2} = 6440$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 40 \lambda + 144 = 0$$
$$\lambda_{1} = 36$$
$$\lambda_{2} = 4$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$36 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 1 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{6}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica