Sr Examen
7x^2+3^(1/2)xy+6y^2=1 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 ___ -1 + 6*y + 7*x + x*y*\/ 3 = 0
$$7 x^{2} + \sqrt{3} x y + 6 y^{2} - 1 = 0$$
7*x^2 + sqrt(3)*x*y + 6*y^2 - 1 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$7 x^{2} + \sqrt{3} x y + 6 y^{2} - 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 7$$
$$a_{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 6$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = -1$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}7 & \frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 6\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = \frac{165}{4}$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$7 x_{0} + \frac{\sqrt{3} y_{0}}{2} = 0$$
$$\frac{\sqrt{3} x_{0}}{2} + 6 y_{0} = 0$$
entonces
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = -1$$
$$a'_{33} = -1$$
entonces la ecuación se transformará en
$$7 x'^{2} + \sqrt{3} x' y' + 6 y'^{2} - 1 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{6}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{1}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$7 x'^{2} + \sqrt{3} x' y' + 6 y'^{2} - 1 = 0$$
en
$$6 \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right)^{2} + \sqrt{3} \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right) + 7 \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right)^{2} - 1 = 0$$
simplificamos
$$\frac{15 \tilde x^{2}}{2} + \frac{11 \tilde y^{2}}{2} - 1 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{15} \sqrt{30}}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{11} \sqrt{22}}{1}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{1}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
$$7 x^{2} + \sqrt{3} x y + 6 y^{2} - 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 7$$
$$a_{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 6$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = -1$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}7 & \frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 6\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = \frac{165}{4}$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$7 x_{0} + \frac{\sqrt{3} y_{0}}{2} = 0$$
$$\frac{\sqrt{3} x_{0}}{2} + 6 y_{0} = 0$$
entonces
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = -1$$
$$a'_{33} = -1$$
entonces la ecuación se transformará en
$$7 x'^{2} + \sqrt{3} x' y' + 6 y'^{2} - 1 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{6}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{1}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$7 x'^{2} + \sqrt{3} x' y' + 6 y'^{2} - 1 = 0$$
en
$$6 \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right)^{2} + \sqrt{3} \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right) + 7 \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right)^{2} - 1 = 0$$
simplificamos
$$\frac{15 \tilde x^{2}}{2} + \frac{11 \tilde y^{2}}{2} - 1 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{15} \sqrt{30}}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{11} \sqrt{22}}{1}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{1}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$7 x^{2} + \sqrt{3} x y + 6 y^{2} - 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 7$$
$$a_{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 6$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = -1$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 13$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}7 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 6 & 0\\0 & 0 & -1\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}7 - \lambda & \frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 6 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 13$$
$$I_{2} = \frac{165}{4}$$
$$I_{3} = - \frac{165}{4}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 13 \lambda + \frac{165}{4}$$
$$K_{2} = -13$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 13 \lambda + \frac{165}{4} = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{15}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{11}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\frac{15 \tilde x^{2}}{2} + \frac{11 \tilde y^{2}}{2} - 1 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{15} \sqrt{30}}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{11} \sqrt{22}}{1}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$7 x^{2} + \sqrt{3} x y + 6 y^{2} - 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 7$$
$$a_{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 6$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = -1$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 13$$
| ___|
| \/ 3 |
| 7 -----|
| 2 |
I2 = | |
| ___ |
|\/ 3 |
|----- 6 |
| 2 |$$I_{3} = \left|\begin{matrix}7 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 6 & 0\\0 & 0 & -1\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}7 - \lambda & \frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 6 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|7 0 | |6 0 |
K2 = | | + | |
|0 -1| |0 -1|$$I_{1} = 13$$
$$I_{2} = \frac{165}{4}$$
$$I_{3} = - \frac{165}{4}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 13 \lambda + \frac{165}{4}$$
$$K_{2} = -13$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 13 \lambda + \frac{165}{4} = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{15}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{11}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\frac{15 \tilde x^{2}}{2} + \frac{11 \tilde y^{2}}{2} - 1 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{15} \sqrt{30}}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{11} \sqrt{22}}{1}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica