Sr Examen
40x^2+36xy+25y^2-8x-14y+1=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 1 - 14*y - 8*x + 25*y + 40*x + 36*x*y = 0
$$40 x^{2} + 36 x y - 8 x + 25 y^{2} - 14 y + 1 = 0$$
40*x^2 + 36*x*y - 8*x + 25*y^2 - 14*y + 1 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$40 x^{2} + 36 x y - 8 x + 25 y^{2} - 14 y + 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 40$$
$$a_{12} = 18$$
$$a_{13} = -4$$
$$a_{22} = 25$$
$$a_{23} = -7$$
$$a_{33} = 1$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}40 & 18\\18 & 25\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 676$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$40 x_{0} + 18 y_{0} - 4 = 0$$
$$18 x_{0} + 25 y_{0} - 7 = 0$$
entonces
$$x_{0} = - \frac{1}{26}$$
$$y_{0} = \frac{4}{13}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 4 x_{0} - 7 y_{0} + 1$$
$$a'_{33} = -1$$
entonces la ecuación se transformará en
$$40 x'^{2} + 36 x' y' + 25 y'^{2} - 1 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{5}{12}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{5}{12} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{12}{13}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{5}{13}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} - \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}$$
$$y' = \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$40 x'^{2} + 36 x' y' + 25 y'^{2} - 1 = 0$$
en
$$25 \left(\frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right)^{2} + 36 \left(\frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} - \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) + 40 \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} - \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right)^{2} - 1 = 0$$
simplificamos
$$52 \tilde x^{2} + 13 \tilde y^{2} - 1 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{26} \sqrt{13}}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{13} \sqrt{13}}{1}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{3 \sqrt{13}}{13}, \ \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{2 \sqrt{13}}{13}, \ \frac{3 \sqrt{13}}{13}\right)$$
$$40 x^{2} + 36 x y - 8 x + 25 y^{2} - 14 y + 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 40$$
$$a_{12} = 18$$
$$a_{13} = -4$$
$$a_{22} = 25$$
$$a_{23} = -7$$
$$a_{33} = 1$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}40 & 18\\18 & 25\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 676$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$40 x_{0} + 18 y_{0} - 4 = 0$$
$$18 x_{0} + 25 y_{0} - 7 = 0$$
entonces
$$x_{0} = - \frac{1}{26}$$
$$y_{0} = \frac{4}{13}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 4 x_{0} - 7 y_{0} + 1$$
$$a'_{33} = -1$$
entonces la ecuación se transformará en
$$40 x'^{2} + 36 x' y' + 25 y'^{2} - 1 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{5}{12}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{5}{12} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{12}{13}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{5}{13}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} - \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}$$
$$y' = \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$40 x'^{2} + 36 x' y' + 25 y'^{2} - 1 = 0$$
en
$$25 \left(\frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right)^{2} + 36 \left(\frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} - \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) + 40 \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} - \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right)^{2} - 1 = 0$$
simplificamos
$$52 \tilde x^{2} + 13 \tilde y^{2} - 1 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{26} \sqrt{13}}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{13} \sqrt{13}}{1}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-1/26, 4/13)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{3 \sqrt{13}}{13}, \ \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{2 \sqrt{13}}{13}, \ \frac{3 \sqrt{13}}{13}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$40 x^{2} + 36 x y - 8 x + 25 y^{2} - 14 y + 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 40$$
$$a_{12} = 18$$
$$a_{13} = -4$$
$$a_{22} = 25$$
$$a_{23} = -7$$
$$a_{33} = 1$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 65$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}40 & 18 & -4\\18 & 25 & -7\\-4 & -7 & 1\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}40 - \lambda & 18\\18 & 25 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 65$$
$$I_{2} = 676$$
$$I_{3} = -676$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 65 \lambda + 676$$
$$K_{2} = 0$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 65 \lambda + 676 = 0$$
$$\lambda_{1} = 52$$
$$\lambda_{2} = 13$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$52 \tilde x^{2} + 13 \tilde y^{2} - 1 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{26} \sqrt{13}}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{13} \sqrt{13}}{1}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$40 x^{2} + 36 x y - 8 x + 25 y^{2} - 14 y + 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 40$$
$$a_{12} = 18$$
$$a_{13} = -4$$
$$a_{22} = 25$$
$$a_{23} = -7$$
$$a_{33} = 1$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 65$$
|40 18|
I2 = | |
|18 25|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}40 & 18 & -4\\18 & 25 & -7\\-4 & -7 & 1\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}40 - \lambda & 18\\18 & 25 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|40 -4| |25 -7|
K2 = | | + | |
|-4 1 | |-7 1 |$$I_{1} = 65$$
$$I_{2} = 676$$
$$I_{3} = -676$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 65 \lambda + 676$$
$$K_{2} = 0$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 65 \lambda + 676 = 0$$
$$\lambda_{1} = 52$$
$$\lambda_{2} = 13$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$52 \tilde x^{2} + 13 \tilde y^{2} - 1 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{26} \sqrt{13}}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{13} \sqrt{13}}{1}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica