Sr Examen

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x^2+2*y^2-x*y-7*x+2*y-1=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src]
      2                  2          
-1 + x  - 7*x + 2*y + 2*y  - x*y = 0
$$x^{2} - x y - 7 x + 2 y^{2} + 2 y - 1 = 0$$
x^2 - x*y - 7*x + 2*y^2 + 2*y - 1 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} - x y - 7 x + 2 y^{2} + 2 y - 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = - \frac{1}{2}$$
$$a_{13} = - \frac{7}{2}$$
$$a_{22} = 2$$
$$a_{23} = 1$$
$$a_{33} = -1$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & - \frac{1}{2}\\- \frac{1}{2} & 2\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = \frac{7}{4}$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} - \frac{y_{0}}{2} - \frac{7}{2} = 0$$
$$- \frac{x_{0}}{2} + 2 y_{0} + 1 = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{26}{7}$$
$$y_{0} = \frac{3}{7}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - \frac{7 x_{0}}{2} + y_{0} - 1$$
$$a'_{33} = - \frac{95}{7}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} - x' y' + 2 y'^{2} - \frac{95}{7} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 1$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{8}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$y' = \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$x'^{2} - x' y' + 2 y'^{2} - \frac{95}{7} = 0$$
en
$$2 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) + \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)^{2} - \frac{95}{7} = 0$$
simplificamos
$$- \frac{\sqrt{2} \tilde x^{2}}{4} - \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde x \tilde y}{2} + 2 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2} \tilde y^{2}}{4} + \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} - \frac{95}{7} = 0$$
$$- \frac{\sqrt{2} \tilde x^{2}}{2} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y^{2}}{2} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} - \frac{95}{7} = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{665}}{95} \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{665}}{95} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2}}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(26/7, 3/7)

Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}, \ \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}, \ \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} - x y - 7 x + 2 y^{2} + 2 y - 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = - \frac{1}{2}$$
$$a_{13} = - \frac{7}{2}$$
$$a_{22} = 2$$
$$a_{23} = 1$$
$$a_{33} = -1$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
     | 1    -1/2|
I2 = |          |
     |-1/2   2  |

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{2}\\- \frac{1}{2} & 2 & 1\\- \frac{7}{2} & 1 & -1\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & - \frac{1}{2}\\- \frac{1}{2} & 2 - \lambda\end{matrix}\right|$$
     | 1    -7/2|   |2  1 |
K2 = |          | + |     |
     |-7/2   -1 |   |1  -1|

$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = \frac{7}{4}$$
$$I_{3} = - \frac{95}{4}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda + \frac{7}{4}$$
$$K_{2} = - \frac{65}{4}$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 3 \lambda + \frac{7}{4} = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2}\right) - \frac{95}{7} = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{665}}{95} \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{665}}{95} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2}}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica