Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$2 x^{2} + 5 x - 5 y^{2} + 5 y - 2 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 2$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = \frac{5}{2}$$
$$a_{22} = -5$$
$$a_{23} = \frac{5}{2}$$
$$a_{33} = -2$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}2 & 0\\0 & -5\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -10$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$2 x_{0} + \frac{5}{2} = 0$$
$$\frac{5}{2} - 5 y_{0} = 0$$
entonces
$$x_{0} = - \frac{5}{4}$$
$$y_{0} = \frac{1}{2}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = \frac{5 x_{0}}{2} + \frac{5 y_{0}}{2} - 2$$
$$a'_{33} = - \frac{31}{8}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$2 x'^{2} - 5 y'^{2} - \frac{31}{8} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{31}{16}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{31}{40}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-5/4, 1/2)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$