Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$16 x^{2} + 32 x + 25 y^{2} - 100 y - 284 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 16$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 16$$
$$a_{22} = 25$$
$$a_{23} = -50$$
$$a_{33} = -284$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 41$$
|16 0 |
I2 = | |
|0 25|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}16 & 0 & 16\\0 & 25 & -50\\16 & -50 & -284\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}16 - \lambda & 0\\0 & 25 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|16 16 | |25 -50 |
K2 = | | + | |
|16 -284| |-50 -284|
$$I_{1} = 41$$
$$I_{2} = 400$$
$$I_{3} = -160000$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 41 \lambda + 400$$
$$K_{2} = -14400$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 41 \lambda + 400 = 0$$
$$\lambda_{1} = 25$$
$$\lambda_{2} = 16$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$25 \tilde x^{2} + 16 \tilde y^{2} - 400 = 0$$
2 2
\tilde x \tilde y
--------- + --------- = 1
2 2
/ 1 \ / 1 \
|------| |------|
\5*1/20/ \4*1/20/
- está reducida a la forma canónica