Sr Examen
17x^2-16xy+17y^2-84x+66y-108 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 -108 - 84*x + 17*x + 17*y + 66*y - 16*x*y = 0
$$17 x^{2} - 16 x y - 84 x + 17 y^{2} + 66 y - 108 = 0$$
17*x^2 - 16*x*y - 84*x + 17*y^2 + 66*y - 108 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$17 x^{2} - 16 x y - 84 x + 17 y^{2} + 66 y - 108 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 17$$
$$a_{12} = -8$$
$$a_{13} = -42$$
$$a_{22} = 17$$
$$a_{23} = 33$$
$$a_{33} = -108$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}17 & -8\\-8 & 17\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 225$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$17 x_{0} - 8 y_{0} - 42 = 0$$
$$- 8 x_{0} + 17 y_{0} + 33 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 2$$
$$y_{0} = -1$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 42 x_{0} + 33 y_{0} - 108$$
$$a'_{33} = -225$$
entonces la ecuación se transformará en
$$17 x'^{2} - 16 x' y' + 17 y'^{2} - 225 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 0$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = 1$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = 0$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$17 x'^{2} - 16 x' y' + 17 y'^{2} - 225 = 0$$
en
$$17 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 16 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + 17 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 225 = 0$$
simplificamos
$$9 \tilde x^{2} + 25 \tilde y^{2} - 225 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$17 x^{2} - 16 x y - 84 x + 17 y^{2} + 66 y - 108 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 17$$
$$a_{12} = -8$$
$$a_{13} = -42$$
$$a_{22} = 17$$
$$a_{23} = 33$$
$$a_{33} = -108$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}17 & -8\\-8 & 17\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 225$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$17 x_{0} - 8 y_{0} - 42 = 0$$
$$- 8 x_{0} + 17 y_{0} + 33 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 2$$
$$y_{0} = -1$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 42 x_{0} + 33 y_{0} - 108$$
$$a'_{33} = -225$$
entonces la ecuación se transformará en
$$17 x'^{2} - 16 x' y' + 17 y'^{2} - 225 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 0$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = 1$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = 0$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$17 x'^{2} - 16 x' y' + 17 y'^{2} - 225 = 0$$
en
$$17 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 16 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + 17 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 225 = 0$$
simplificamos
$$9 \tilde x^{2} + 25 \tilde y^{2} - 225 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
2 2
\tilde x \tilde y
--------- + --------- = 1
2 2
/ 1 \ / 1 \
|------| |------|
\3*1/15/ \5*1/15/ - está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(2, -1)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$17 x^{2} - 16 x y - 84 x + 17 y^{2} + 66 y - 108 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 17$$
$$a_{12} = -8$$
$$a_{13} = -42$$
$$a_{22} = 17$$
$$a_{23} = 33$$
$$a_{33} = -108$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 34$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}17 & -8 & -42\\-8 & 17 & 33\\-42 & 33 & -108\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}17 - \lambda & -8\\-8 & 17 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 34$$
$$I_{2} = 225$$
$$I_{3} = -50625$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 34 \lambda + 225$$
$$K_{2} = -6525$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 34 \lambda + 225 = 0$$
$$\lambda_{1} = 25$$
$$\lambda_{2} = 9$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$25 \tilde x^{2} + 9 \tilde y^{2} - 225 = 0$$
- está reducida a la forma canónica
$$17 x^{2} - 16 x y - 84 x + 17 y^{2} + 66 y - 108 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 17$$
$$a_{12} = -8$$
$$a_{13} = -42$$
$$a_{22} = 17$$
$$a_{23} = 33$$
$$a_{33} = -108$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 34$$
|17 -8|
I2 = | |
|-8 17|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}17 & -8 & -42\\-8 & 17 & 33\\-42 & 33 & -108\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}17 - \lambda & -8\\-8 & 17 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|17 -42 | |17 33 |
K2 = | | + | |
|-42 -108| |33 -108|$$I_{1} = 34$$
$$I_{2} = 225$$
$$I_{3} = -50625$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 34 \lambda + 225$$
$$K_{2} = -6525$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 34 \lambda + 225 = 0$$
$$\lambda_{1} = 25$$
$$\lambda_{2} = 9$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$25 \tilde x^{2} + 9 \tilde y^{2} - 225 = 0$$
2 2
\tilde x \tilde y
--------- + --------- = 1
2 2
/ 1 \ / 1 \
|------| |------|
\5*1/15/ \3*1/15/ - está reducida a la forma canónica