Sr Examen
16x^2-72xy+81y^2+144x+144y-144=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 -144 + 16*x + 81*y + 144*x + 144*y - 72*x*y = 0
$$16 x^{2} - 72 x y + 144 x + 81 y^{2} + 144 y - 144 = 0$$
16*x^2 - 72*x*y + 144*x + 81*y^2 + 144*y - 144 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$16 x^{2} - 72 x y + 144 x + 81 y^{2} + 144 y - 144 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 16$$
$$a_{12} = -36$$
$$a_{13} = 72$$
$$a_{22} = 81$$
$$a_{23} = 72$$
$$a_{33} = -144$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}16 & -36\\-36 & 81\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{65}{72}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{65}{72} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{72}{97}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{65}{97}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{9 \sqrt{97}}{97}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{4 \sqrt{97}}{97}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{9 \sqrt{97} \tilde x}{97} - \frac{4 \sqrt{97} \tilde y}{97}$$
$$y' = \frac{4 \sqrt{97} \tilde x}{97} + \frac{9 \sqrt{97} \tilde y}{97}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$16 x'^{2} - 72 x' y' + 144 x' + 81 y'^{2} + 144 y' - 144 = 0$$
en
$$81 \left(\frac{4 \sqrt{97} \tilde x}{97} + \frac{9 \sqrt{97} \tilde y}{97}\right)^{2} - 72 \left(\frac{4 \sqrt{97} \tilde x}{97} + \frac{9 \sqrt{97} \tilde y}{97}\right) \left(\frac{9 \sqrt{97} \tilde x}{97} - \frac{4 \sqrt{97} \tilde y}{97}\right) + 144 \left(\frac{4 \sqrt{97} \tilde x}{97} + \frac{9 \sqrt{97} \tilde y}{97}\right) + 16 \left(\frac{9 \sqrt{97} \tilde x}{97} - \frac{4 \sqrt{97} \tilde y}{97}\right)^{2} + 144 \left(\frac{9 \sqrt{97} \tilde x}{97} - \frac{4 \sqrt{97} \tilde y}{97}\right) - 144 = 0$$
simplificamos
$$\frac{1872 \sqrt{97} \tilde x}{97} + 97 \tilde y^{2} + \frac{720 \sqrt{97} \tilde y}{97} - 144 = 0$$
$$\left(\sqrt{97} \tilde y + \frac{360}{97}\right)^{2} = - \frac{1872 \sqrt{97} \tilde x}{97} + \frac{1484496}{9409}$$
$$\left(\tilde y + \frac{360 \sqrt{97}}{9409}\right)^{2} = - \frac{1872 \sqrt{97} \left(\tilde x - \frac{793 \sqrt{97}}{9409}\right)}{9409}$$
$$\tilde y'^{2} = - \frac{1872 \sqrt{97} \tilde x'}{9409}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{9 \sqrt{97}}{97} + 0 \frac{4 \sqrt{97}}{97}$$
$$y_{0} = 0 \frac{4 \sqrt{97}}{97} + 0 \frac{9 \sqrt{97}}{97}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{9 \sqrt{97}}{97}, \ \frac{4 \sqrt{97}}{97}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{4 \sqrt{97}}{97}, \ \frac{9 \sqrt{97}}{97}\right)$$
$$16 x^{2} - 72 x y + 144 x + 81 y^{2} + 144 y - 144 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 16$$
$$a_{12} = -36$$
$$a_{13} = 72$$
$$a_{22} = 81$$
$$a_{23} = 72$$
$$a_{33} = -144$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}16 & -36\\-36 & 81\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{65}{72}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{65}{72} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{72}{97}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{65}{97}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{9 \sqrt{97}}{97}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{4 \sqrt{97}}{97}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{9 \sqrt{97} \tilde x}{97} - \frac{4 \sqrt{97} \tilde y}{97}$$
$$y' = \frac{4 \sqrt{97} \tilde x}{97} + \frac{9 \sqrt{97} \tilde y}{97}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$16 x'^{2} - 72 x' y' + 144 x' + 81 y'^{2} + 144 y' - 144 = 0$$
en
$$81 \left(\frac{4 \sqrt{97} \tilde x}{97} + \frac{9 \sqrt{97} \tilde y}{97}\right)^{2} - 72 \left(\frac{4 \sqrt{97} \tilde x}{97} + \frac{9 \sqrt{97} \tilde y}{97}\right) \left(\frac{9 \sqrt{97} \tilde x}{97} - \frac{4 \sqrt{97} \tilde y}{97}\right) + 144 \left(\frac{4 \sqrt{97} \tilde x}{97} + \frac{9 \sqrt{97} \tilde y}{97}\right) + 16 \left(\frac{9 \sqrt{97} \tilde x}{97} - \frac{4 \sqrt{97} \tilde y}{97}\right)^{2} + 144 \left(\frac{9 \sqrt{97} \tilde x}{97} - \frac{4 \sqrt{97} \tilde y}{97}\right) - 144 = 0$$
simplificamos
$$\frac{1872 \sqrt{97} \tilde x}{97} + 97 \tilde y^{2} + \frac{720 \sqrt{97} \tilde y}{97} - 144 = 0$$
$$\left(\sqrt{97} \tilde y + \frac{360}{97}\right)^{2} = - \frac{1872 \sqrt{97} \tilde x}{97} + \frac{1484496}{9409}$$
$$\left(\tilde y + \frac{360 \sqrt{97}}{9409}\right)^{2} = - \frac{1872 \sqrt{97} \left(\tilde x - \frac{793 \sqrt{97}}{9409}\right)}{9409}$$
$$\tilde y'^{2} = - \frac{1872 \sqrt{97} \tilde x'}{9409}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{9 \sqrt{97}}{97} + 0 \frac{4 \sqrt{97}}{97}$$
$$y_{0} = 0 \frac{4 \sqrt{97}}{97} + 0 \frac{9 \sqrt{97}}{97}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{9 \sqrt{97}}{97}, \ \frac{4 \sqrt{97}}{97}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{4 \sqrt{97}}{97}, \ \frac{9 \sqrt{97}}{97}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$16 x^{2} - 72 x y + 144 x + 81 y^{2} + 144 y - 144 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 16$$
$$a_{12} = -36$$
$$a_{13} = 72$$
$$a_{22} = 81$$
$$a_{23} = 72$$
$$a_{33} = -144$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 97$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}16 & -36 & 72\\-36 & 81 & 72\\72 & 72 & -144\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}16 - \lambda & -36\\-36 & 81 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 97$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -876096$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 97 \lambda$$
$$K_{2} = -24336$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$\frac{1872 \sqrt{97} \tilde x}{97} + 97 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = \frac{1872 \sqrt{97}}{9409} \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica
$$16 x^{2} - 72 x y + 144 x + 81 y^{2} + 144 y - 144 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 16$$
$$a_{12} = -36$$
$$a_{13} = 72$$
$$a_{22} = 81$$
$$a_{23} = 72$$
$$a_{33} = -144$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 97$$
|16 -36|
I2 = | |
|-36 81 |$$I_{3} = \left|\begin{matrix}16 & -36 & 72\\-36 & 81 & 72\\72 & 72 & -144\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}16 - \lambda & -36\\-36 & 81 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|16 72 | |81 72 |
K2 = | | + | |
|72 -144| |72 -144|$$I_{1} = 97$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -876096$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 97 \lambda$$
$$K_{2} = -24336$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$\frac{1872 \sqrt{97} \tilde x}{97} + 97 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = \frac{1872 \sqrt{97}}{9409} \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica