Sr Examen
x^2-4z+2x+13=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 13 + x - 4*z + 2*x = 0
$$x^{2} + 2 x - 4 z + 13 = 0$$
x^2 + 2*x - 4*z + 13 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$x^{2} + 2 x - 4 z + 13 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 1$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
$$a_{34} = -2$$
$$a_{44} = 13$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 1$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -2\\1 & 0 & -2 & 13\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 0 & 0\\0 & - \lambda & 0\\0 & 0 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 1$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + \lambda^{2}$$
$$K_{2} = 8$$
$$K_{3} = -4$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge I_{4} = 0 \wedge I_{1} \neq 0 \wedge K_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$I_{1} \tilde x^{2} + \tilde y 2 \sqrt{\frac{\left(-1\right) K_{3}}{I_{1}}} = 0$$
y
$$I_{1} \tilde x^{2} - \tilde y 2 \sqrt{\frac{\left(-1\right) K_{3}}{I_{1}}} = 0$$
$$\tilde x^{2} + 4 \tilde y = 0$$
y
$$\tilde x^{2} - 4 \tilde y = 0$$
$$\tilde x^{2} = 4 \tilde y$$
y
$$\tilde x^{2} = - 4 \tilde y$$
es la ecuación para el tipo cilindro parabólico
- está reducida a la forma canónica
$$x^{2} + 2 x - 4 z + 13 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 1$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
$$a_{34} = -2$$
$$a_{44} = 13$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
|a11 a12| |a22 a23| |a11 a13|
I2 = | | + | | + | |
|a12 a22| |a23 a33| |a13 a33|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a14| |a22 a24| |a33 a34|
K2 = | | + | | + | |
|a14 a44| |a24 a44| |a34 a44| |a11 a12 a14| |a22 a23 a24| |a11 a13 a14|
| | | | | |
K3 = |a12 a22 a24| + |a23 a33 a34| + |a13 a33 a34|
| | | | | |
|a14 a24 a44| |a24 a34 a44| |a14 a34 a44|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 1$$
|1 0| |0 0| |1 0|
I2 = | | + | | + | |
|0 0| |0 0| |0 0|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -2\\1 & 0 & -2 & 13\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 0 & 0\\0 & - \lambda & 0\\0 & 0 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
|1 1 | |0 0 | |0 -2|
K2 = | | + | | + | |
|1 13| |0 13| |-2 13| |1 0 1 | |0 0 0 | |1 0 1 |
| | | | | |
K3 = |0 0 0 | + |0 0 -2| + |0 0 -2|
| | | | | |
|1 0 13| |0 -2 13| |1 -2 13|$$I_{1} = 1$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + \lambda^{2}$$
$$K_{2} = 8$$
$$K_{3} = -4$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge I_{4} = 0 \wedge I_{1} \neq 0 \wedge K_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$I_{1} \tilde x^{2} + \tilde y 2 \sqrt{\frac{\left(-1\right) K_{3}}{I_{1}}} = 0$$
y
$$I_{1} \tilde x^{2} - \tilde y 2 \sqrt{\frac{\left(-1\right) K_{3}}{I_{1}}} = 0$$
$$\tilde x^{2} + 4 \tilde y = 0$$
y
$$\tilde x^{2} - 4 \tilde y = 0$$
$$\tilde x^{2} = 4 \tilde y$$
y
$$\tilde x^{2} = - 4 \tilde y$$
es la ecuación para el tipo cilindro parabólico
- está reducida a la forma canónica