Sr Examen

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x^2-6x-4y+29=o forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src]
      2                    
29 + x  - o - 6*x - 4*y = 0
$$- o + x^{2} - 6 x - 4 y + 29 = 0$$
-o + x^2 - 6*x - 4*y + 29 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$- o + x^{2} - 6 x - 4 y + 29 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} o x + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} o y + 2 a_{24} y + a_{33} o^{2} + 2 a_{34} o + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = -3$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = -2$$
$$a_{33} = 0$$
$$a_{34} = - \frac{1}{2}$$
$$a_{44} = 29$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 1$$
     |1  0|   |0  0|   |1  0|
I2 = |    | + |    | + |    |
     |0  0|   |0  0|   |0  0|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -3\\0 & 0 & 0 & -2\\0 & 0 & 0 & - \frac{1}{2}\\-3 & -2 & - \frac{1}{2} & 29\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 0 & 0\\0 & - \lambda & 0\\0 & 0 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |1   -3|   |0   -2|   | 0    -1/2|
K2 = |      | + |      | + |          |
     |-3  29|   |-2  29|   |-1/2   29 |

     |1   0   -3|   |0    0     -2 |   |1    0     -3 |
     |          |   |              |   |              |
K3 = |0   0   -2| + |0    0    -1/2| + |0    0    -1/2|
     |          |   |              |   |              |
     |-3  -2  29|   |-2  -1/2   29 |   |-3  -1/2   29 |

$$I_{1} = 1$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + \lambda^{2}$$
$$K_{2} = \frac{63}{4}$$
$$K_{3} = - \frac{17}{4}$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge I_{4} = 0 \wedge I_{1} \neq 0 \wedge K_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$I_{1} \tilde x^{2} + \tilde y 2 \sqrt{\frac{\left(-1\right) K_{3}}{I_{1}}} = 0$$
y
$$I_{1} \tilde x^{2} - \tilde y 2 \sqrt{\frac{\left(-1\right) K_{3}}{I_{1}}} = 0$$
$$\tilde x^{2} + \sqrt{17} \tilde y = 0$$
y
$$\tilde x^{2} - \sqrt{17} \tilde y = 0$$
$$\tilde x^{2} = \sqrt{17} \tilde y$$
y
$$\tilde x^{2} = - \sqrt{17} \tilde y$$
es la ecuación para el tipo cilindro parabólico
- está reducida a la forma canónica